《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2025·成华)综合与实践。
【观察猜想】(1)如图1,△ACB与△DCE都是等腰直角三角形,其中∠ACB= ∠DCE= 90°,AC= BC,DC= EC,点E在线段AC上,连接AD,BE,则AD和BE的数量关系是____。
【探索证明】(2)如图2,将(1)中的△DCE绕点C按顺时针方向旋转,点E落在线段AB上,其他条件不变,此时∠DAB的度数是____,并探究线段CE,AE,BE之间的数量关系,并说明理由。
【拓展探究】(3)如图3,△ACB是等腰直角三角形,其中∠ACB= 90°,AC= BC,D为△ABC外一点,∠ADC= 45°,连接BD,若$BD= 13,CD^2= 72,$请求出AD的长。

答案：

(1)$AD=BE$
(2)$90^{\circ}$
【解】
(1)$\because\angle ACB=\angle DCE=90^{\circ}$，$AC=BC$，$DC=EC$，
$\therefore\triangle ADC\cong\triangle BEC(\text{SAS})$，$\therefore AD=BE$，故答案为$AD=BE$.
(2)$AE^{2}+BE^{2}=2CE^{2}$，理由如下：
$\because\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，
$\therefore\angle ABC=\angle BAC=45^{\circ}$.
$\because\angle ACB=\angle DCE=90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACD=\angle BCE$.
又$\because AC=BC$，$DC=EC$，
$\therefore\triangle ACD\cong\triangle BCE(\text{SAS})$，
$\therefore\angle CAD=\angle ABC=45^{\circ}$，$AD=BE$，
$\therefore\angle BAD=90^{\circ}$，$\therefore AE^{2}+AD^{2}=DE^{2}$，
$\because\angle DCE=90^{\circ}$，$CD=CE$，
$\therefore DE^{2}=CD^{2}+CE^{2}=2CE^{2}$，
$\therefore AE^{2}+AD^{2}=AE^{2}+BE^{2}=2CE^{2}$.
(3)如图，过点$C$作$CE\perp CD$，交$DA$的延长线于点$E$，连接$BE$.

$\because\angle CDA=45^{\circ}$，$\therefore\triangle DCE$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=CE$，
$\therefore DE^{2}=CD^{2}+CE^{2}=2CD^{2}=144$，$\angle CED=45^{\circ}$.
$\because\angle ACB=\angle DCE=90^{\circ}$，$\therefore\angle ACD=\angle ECB$.
又$\because AC=BC$，$DC=CE$，$\therefore\triangle DCA\cong\triangle ECB(\text{SAS})$，
$\therefore\angle ADC=\angle BEC=45^{\circ}$，$AD=BE$，
$\therefore\angle DEB=\angle DEC+\angle BEC=90^{\circ}$，
$\therefore BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}=13^{2}-144=25$，
$\therefore AD=BE=5$.