《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (2025·编写) 求下列各式中的$x$：
(1) $9 x^{2}-25= 0$；
(2) $4(2 x-1)^{2}= 36$.

答案：
(1)[解]9x²=25,
　　　　　x²=$\frac{25}{9}$,
　　　　　x=±$\frac{5}{3}$.
(2)[解](2x−1)²=9,
2x−1=±3,
2x−1=3或2x−1=−3,
x=2或x=−1.

11. (1) (2025·编写) 若$\sqrt{a}的平方根是\pm 2$,则$a= $16.
(2) (2025·天府新区) 化简$\sqrt{1-2 x+x^{2}}-(\sqrt{x-2})^{2}$的结果是1.

答案：
(1)16　
(2)1

12. (1) (2025·编写) 若$a^{2}= 4$,$b^{2}= 9$,且$a b＞0$,则$a-b$的值为±1.
(2) (2024·眉山) 已知$a-7和2 a+1是一个正数x$的平方根,则这个正数$x$的值为25或225.

答案：
(1)±1　
(2)25或225

13. (2025·编写) 小明是一位善于思考的学生,在一次数学活动课上,他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放,点$A, B, D$在同一直线上,$E F // A D$,$\angle A= \angle E D F= 90^{\circ}$,$\angle C= 45^{\circ}$,$\angle E= 60^{\circ}$,量得$D E= 8$,则$B D$的长是______12−4√3.

答案： 12−4√3

14. (1) (2025·编写) 已知正实数$x的平方根是m和m+n$.
① 当$n= 6$时,求$m$的值；
② 若$m^{2} x+(m+n)^{2} x= 32$,求$x$的值.
(2) (2025·编写) 已知$\sqrt{a-17}+\sqrt{17-a}= b+8$.
① 求$a$的值；
② 求$a^{2}-b^{2}$的平方根.

答案：
(1)[解]①
∵正实数x的平方根是m和m+n,
∴m+m+n=0.
∵n=6,
∴2m+6=0,
∴m=−3.
②
∵正实数x的平方根是m和m+n,
∴(m+n)²=x,m²=x.
∵m²x+(m+n)²x=32,
∴x²+x²=32,
∴x²=16.
∵x＞0,
∴x=4.
(2)[解]①
∵$\sqrt{a−17}$+$\sqrt{17−a}$=b+8,
∴a−17≥0且17−a≥0,解得a=17.
②
∵a=17,
∴b+8=0,
∴b=−8,
∴a²−b²的平方根是±$\sqrt{17²−(−8)²}$=±15.

15. (2024·成华) 如图,在$\triangle A B C$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A B C= 30^{\circ}$,$A C= 3$. 点$D为\triangle A B C$外一点,满足$\angle B A D= 15^{\circ}$,$\angle A B D= 30^{\circ}$,求$\triangle A B D$的面积.

答案：
[解]如图，过点A作AE⊥BD,交BD的延长线于点E,
∴∠AEB=90°.

∵∠C=90°,∠ABC=30°,AC=3,
∴BC=$\sqrt{3}$AC=3$\sqrt{3}$
∵∠ABC=∠ABD=30°,∠C=∠E=90°,AB=AB,
∴△ACB≌△AEB(AAS),
∴BC=BE=3√3,AC=AE=3.
∵∠ADE是△ADB的一个外角,
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=DE=3,
∴BD=BE−DE=3√3−3,
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$BD·AE=$\frac{1}{2}$×(3√3−3)×3=$\frac{9\sqrt{3} - 9}{2}$