《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

13. (2025·锦江) 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + b $ 的图象与正比例函数 $ y = 2x $ 的图象交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于点 $ B(5, 0) $,则 $ \triangle OAB $ 的面积是5。

答案： 5

14. (2025·编写) 如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABO $ 中, $ \angle OBA = 90^\circ $, $ A(4, 4) $,点 $ C $ 在边 $ AB $ 上,且 $ \frac{AC}{CB} = \frac{1}{3} $, $ D $ 为 $ OB $ 的中点, $ P $ 为边 $ OA $ 上的动点,当点 $ P $ 在 $ OA $ 上移动时,求使四边形 $ PDBC $ 周长最小的点 $ P $ 的坐标。

答案：
[解]
∵在$Rt△ABO$中，$∠OBA=90^{\circ}$，$A(4,4)$，

∴$AB=OB=4$，$∠AOB=45^{\circ}$。
∵$\frac{AC}{CB}=\frac{1}{3}$，$D$为$OB$的中点，
∴$BC=3$，$OD=BD=2$，
∴$D(2,0)$，$C(4,3)$。
作点$D$关于直线$OA$的对称点$E$，连接$EC$交$OA$于点$P$，如图所示，则此时四边形$PDBC$的周长最小，$E(0,2)$。
易得直线$OA$的解析式为$y=x$，
设直线$EC$的解析式为$y=kx+b$，
则$\begin{cases}b=2\\4k+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4}\\b=2\end{cases}$
∴直线$EC$的解析式为$y=\frac{1}{4}x+2$。
由$\begin{cases}y=x\\y=\frac{1}{4}x+2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\y=\frac{8}{3}\end{cases}$
∴$P(\frac{8}{3},\frac{8}{3})$。

15. (2025·青羊) 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-4, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且与正比例函数 $ y = \frac{3}{2}x $ 的图象交于点 $ C(m, 6) $。
(1) 求 $ m $ 的值与一次函数的解析式。
(2) 如图,一动直线 $ x = t $ 分别与两直线交于 $ P $, $ Q $ 两点,若 $ PQ = 2 $,求 $ t $ 的值。
(3) 在 $ y $ 轴上是否存在点 $ M $,使得 $ \triangle ABM $ 是以 $ AB $ 为腰的等腰三角形？若存在,请求出符合条件的所有点 $ M $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： [解]
(1)将点$C(m,6)$代入$y=\frac{3}{2}x$，得$6=\frac{3}{2}m$，解得$m=4$，
∴$C(4,6)$。
设一次函数的解析式为$y=kx+b$。
由题意，得$\begin{cases}4k+b=6\\-4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4}\\b=3\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x+3$。
(2)设点$P(t,\frac{3}{4}t+3)$，$Q(t,\frac{3}{2}t)$，
则$PQ=|\frac{3}{4}t+3-\frac{3}{2}t|=2$，解得$t=\frac{4}{3}$或$\frac{20}{3}$。
(3)在$y$轴上存在点$M$，使得$△ABM$是以$AB$为腰的等腰三角形。
对于$y=\frac{3}{4}x+3$，令$x=0$，则$y=3$，
∴$B(0,3)$。
∵$A(-4,0)$，
∴$AB=5$，$OA=4$，$OB=3$。
当$∠ABM$为等腰三角形的顶角时，$BM=AB=5$，
∴$M(0,8)$或$M(0,-2)$；
当$∠BAM$为等腰三角形的顶角时，点$M$是点$B$关于$x$轴的对称点，
∴$M(0,-3)$。
综上所述，点$M$的坐标为$(0,8)$或$(0,-2)$或$(0,-3)$。