《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (1)(2025·编写)已知关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}2x + 3y = k,\\x + 2y = - 1\end{cases} $的解互为相反数,求$k$的值。
(2)(2025·温江)食品安全是关乎民生的重要问题,在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害,但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输。为提高质量,做进一步研究,某饮料加工厂需生产$A$,$B两种饮料共1000$瓶,需加入同种添加剂$2700$克,其中$A饮料每瓶需加添加剂2$克,$B饮料每瓶需加添加剂3$克。饮料加工厂生产了$A$,$B$两种饮料各多少瓶？

答案：
(1)【解】$\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y=k, ① \\ x+2 y=-1, ② \end{array}\right.$
①$-$②，得 $x+y=k+1$。$\because$ 关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y=k, \\ x+2 y=-1 \end{array}\right.$ 的解互为相反数，$\therefore x+y=0$，即 $k+1=0$，解得 $k=-1$。
(2)【解】设饮料加工厂生产 A 种饮料 $x$ 瓶，B 种饮料 $y$ 瓶。
根据题意，得 $\left\{\begin{array}{l} x+y=1000, \\ 2 x+3 y=2700, \end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l} x=300, \\ y=700. \end{array}\right.$
即饮料加工厂生产 A 种饮料 300 瓶，B 种饮料 700 瓶。

11. (1)(2025·编写)已知关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}x + y = 5 - m,\\x - 2y = m + 1,\end{cases} 则4x^2 - 4xy + y^2$的值为36。
(2)(2025·编写)把一个两位数的十位数字和个位数字交换后得到一个新的两位数,新数比原来的两位数多了$18$,则符合条件的原数有7个。

答案：
(1) $36$　
(2) $7$

12. (1)(2022·青羊)若关于$x$,$y的方程组\begin{cases}3x - y = 5,\\4ax + 5by = - 22\end{cases} 与\begin{cases}2x + 3y = - 4,\\ax - by = 8\end{cases} $有相同的解,则$a + b$的值为5。
(2)(2025·编写)在平面直角坐标系内,已知点$(1 - 2a,a - 2)$在第三象限的角平分线上,则经过点$(a - 1,a)与点(2a,3a)$的直线的函数解析式是$y=x+1$。

答案：
(1) $5$　
(2) $y=x+1$

13. (2025·编写)若$2x + y + z = 10$,$3x + y + z = 12$,则$x + y + z = $8。

答案： 8

14. (2022·龙泉驿)现在以及未来,会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中,比如：无人机放牧、机器狗导盲、智能化无人码头装卸等。某快递公司为了提高工作效率,计划购买$A$,$B$两种型号的机器人来搬运货物,已知每台$A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25$吨,并且$3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450$吨。
(1)每台$A型机器人和每台B$型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台$A型机器人售价3$万元,每台$B型机器人售价2.5$万元,该公司计划采购$A$,$B两种型号的机器人共20$台,同时厂家要求$A型机器人购买量不得少于10$台,请根据以上要求,求出$A$,$B$两种型号的机器人分别采购多少台时,所需费用最低,最低费用是多少？

答案： 【解】
(1) 设每台 A 型机器人每天搬运货物 $x$ 吨，每台 B 型机器人每天搬运货物 $y$ 吨。
根据题意，得 $\left\{\begin{array}{l} x-y=25, \\ 3 x+2 y=450, \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x=100, \\ y=75. \end{array}\right.$
答：每台 A 型机器人每天搬运货物 100 吨，每台 B 型机器人每天搬运货物 75 吨。
(2) 设 A 型机器人采购 $m$ 台，B 型机器人采购 $(20-m)$ 台，总费用为 $w$ 万元。根据题意，得
$w=3 m+2.5(20-m)=0.5 m+50(m \geqslant 10)$。
$\because 0.5＞0$，$\therefore w$ 随 $m$ 的减小而减小。
$\therefore$ 当 $m=10$ 时，$w$ 有最小值，$w_{\text {最小 }}=0.5 × 10+50=55$，
$\therefore$ A，B 两种型号的机器人分别采购 10 台、10 台时，所需费用最低，最低费用是 55 万元。