《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (2022·青羊)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + m $ 的图象 $ l_2 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,正比例函数的图象 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 交于点 $ C(2, 4) $。
- (1) 求 $ m $ 的值及 $ l_1 $ 的解析式；\n(2) 若 $ M $ 是线段 $ AB $ 上一点,连接 $ OM $,当 $ \triangle AOM $ 的面积是 $ \triangle BOC $ 面积的 2 倍时,请求出点 $ M $ 的坐标。

答案： [解]
(1) $\because$ 一次函数 $y = -\frac{1}{2}x + m$ 的图象 $l_2$ 与 $l_1$ 交于点 $C(2,4)$，$\therefore$ 将点 $C$ 的坐标代入 $y = -\frac{1}{2}x + m$，得 $4 = -\frac{1}{2} × 2 + m$，解得 $m = 5$。设 $l_1$ 的解析式为 $y = nx$。将点 $C(2,4)$ 代入上式，得 $4 = 2n$，解得 $n = 2$，故 $l_1$ 的解析式为 $y = 2x$。
(2) $\because m = 5$，$\therefore$ 图象 $l_2$ 的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x + 5$，易得 $A(10,0)$，$B(0,5)$。$\because C(2,4)$，$\therefore S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。设 $M(a, -\frac{1}{2}a + 5)(0 \leq a ＜ 10)$。由题意可知 $S_{\triangle AOM} = 2S_{\triangle BOC} = 10$，$\therefore S_{\triangle AOM} = \frac{1}{2} × 10 × \left| -\frac{1}{2}a + 5 \right| = 10$，解得 $a = 6$ 或 $a = 14$（舍去），$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(6,2)$。

11. (2024·南京)如图,一次函数 $ y = \frac{4}{3}x + 4 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $,$ B $,点 $ C $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,若点 $ B $ 关于直线 $ AC $ 的对称点 $ B' $ 恰好落在 $ x $ 轴上,则直线 $ AC $ 所对应的函数表达式为______。

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

答案： $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

12. (2025·锦江)已知一次函数 $ y = kx + 3 - 2k $($ k \neq 0 $),当 $ k $ 变化时,原点到一次函数 $ y = kx + 3 - 2k $ 图象的最大距离为$\sqrt{13}$。

答案： $\sqrt{13}$

13. (2025·编写)如图,光源 $ A(-3, 2) $ 发出的一束光,遇到平面镜($ y $ 轴)上的点 $ B $ 的反射光线 $ BC $ 交 $ x $ 轴于点 $ C(-1, 0) $,则入射光线 $ AB $ 所在直线的表达式为$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$。

答案： $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

14. (2024·龙泉驿)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = 3x + 6 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ C $,经过点 $ C $ 的直线与 $ x $ 轴交于点 $ B $,$ \angle CBO = 45^{\circ} $。

答案： [解]
(1) 由 $y = 3x + 6$，得 $A(-2,0)$，$C(0,6)$。
$\because \angle CBO = 45^{\circ}$，$\therefore OB = OC = 6$，$\therefore B(6,0)$。
设直线 $BC$ 的表达式为 $y = kx + b(k \neq 0)$，
则有 $\begin{cases}6k + b = 0 \\ b = 6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -1 \\ b = 6\end{cases}$，
$\therefore$ 直线 $BC$ 的表达式为 $y = -x + 6$。
(2) $\because A(-2,0)$，$C(0,6)$，$B(6,0)$，$\therefore AB = 8$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24$。
设 $G(m, -m + 6)(0 ＜ m ＜ 6)$，
①当 $S_{\triangle ABG} : S_{\triangle ACG} = 1 : 2$ 时，$S_{\triangle ABG} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 8$，
$\therefore \frac{1}{2} × 8(-m + 6) = 8$，$\therefore m = 4$，$\therefore G(4,2)$。
②当 $S_{\triangle ABG} : S_{\triangle ACG} = 2 : 1$ 时，$S_{\triangle ABG} = \frac{2}{3}S_{\triangle ABC} = 16$，
$\therefore \frac{1}{2} × 8(-m + 6) = 16$，$\therefore m = 2$，$\therefore G(2,4)$。
综上，点 $G$ 的坐标为 $(4,2)$ 或 $(2,4)$。