《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (2025·成华)如图1,一架3m长的梯子,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙1.8m。
(1)这架梯子的顶端距地面有多高？
(2)如图2,如果梯子顶端靠墙下移,底端向右移动0.6m至点E处,那么它的顶端A沿墙下移了多少米？

答案： 【解】
(1)由题意，得$AB=3\ \text{m}$，$BC=1.8\ \text{m}$，
$\therefore AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=3^{2}-1.8^{2}=5.76$，
$\therefore AC=2.4\ \text{m}$，
即这架梯子的顶端距地面有 2.4 m.
(2)$\because$梯子顶端靠墙下移，底端向右移动 0.6 m 至点$E$处，
$\therefore CE=BC+BE=1.8+0.6=2.4(\text{m})$，
$\therefore CD^{2}=DE^{2}-CE^{2}=3^{2}-2.4^{2}=3.24$，
$\therefore CD=1.8\ \text{m}$，
$\therefore AD=AC-CD=2.4-1.8=0.6(\text{m})$.
即它的顶端$A$沿墙下移了 0.6 m.

11. (2025·编写)如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE均是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形。若AB= 15,AH= 9,则四边形EFGH的面积为9。

答案： 9

12. (2025·编写)如图,在一个长方形草坪ABCD上,放着一根长方体的木块。已知AD= 6米,AB= 4米,该木块的较长边与AD平行,横截面是边长为2米的正方形,一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是10米。

答案： 10

13. (2025·编写)如图,圆柱底面圆的周长为6cm,CD,AB分别是上、下底面的直径,高BC= 12cm,用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的方式缠绕1.5圈,则丝带的最短长度为____15cm。

答案： 15

14. (2025·郫都)如图,在点B正北方的A处有一信号接收器($AB^{2}= 120^{2}×2cm^{2}$),点C在点B的北偏东45°的方向,一电子狗P从点B向点C的方向以4cm/s的速度运动并持续向四周发射信号,信号接收器接收信号的有效范围为150cm。
(1)求出点A到线段BC的距离；
(2)请判断点A处是否能接收到信号,并说明理由。若能接收到信号,求出可接收信号的时间。

答案：
【解】
(1)如图，过点$A$作$AH\perp BC$于点$H$.

在$Rt\triangle ABH$中，$\because AB^{2}=120^{2}×2\ \text{cm}^{2}$，$\angle B=45^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABH$是等腰直角三角形，
$\therefore AH=BH$，$AH^{2}+BH^{2}=120^{2}×2$，
$\therefore AH=BH=120\ \text{cm}$，
即点$A$到线段$BC$的距离为 120 cm.
(2)$\because AH=120\ \text{cm}＜150\ \text{cm}$，
$\therefore$点$A$处能接收到信号.
当$AP=150\ \text{cm}$时，$PH^{2}=AP^{2}-AH^{2}=150^{2}-120^{2}=8100$，
$\therefore PH=90\ \text{cm}$.
当$AP'=150\ \text{cm}$时，$HP'=90\ \text{cm}$，
$\therefore PP'=180\ \text{cm}$，
$\therefore$可接收信号的时间为$\frac{180}{4}=45(\text{s})$.