《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (1)(2025·编写)校园里有一旗杆高11m,如果想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝,小明已测量得知B到旗杆底部C的距离是8m,小亮已准备好一根长13.2m的铁丝,这个长度够吗?
(2)(2025·编写)如图,已知一灯塔A周围2000米的水域内有礁石,一舰艇由西向东航行,在O处测得O,A相距4000米.若使舰艇到达与灯塔最近处B,则还需航行3500米,舰艇再向东航行有无触礁的危险?

答案：
(1)【解】由题意可知$AB = \sqrt{11^2 + 8^2} = \sqrt{185}$. 因为$13.2^2 = 174.24$，所以$AB ＞ 13.2$. 所以这根铁丝长度不够.
(2)【解】因为$B$是到灯塔$A$的最近处，所以$OB \perp AB$. 根据勾股定理，得$OB^2 + AB^2 = OA^2$，即$3500^2 + AB^2 = 4000^2$，所以$AB^2 = 3750000$. 又因为$3750000 ＜ 2000^2$，所以$AB ＜ 2000$米. 所以舰艇再向东航行有触礁的危险.

11. (1)(2025·编写)用计算器比较大小：$\sqrt{3}+\sqrt{2}$＞π(填“＞”“＜”或“=”).
(2)(2025·编写)用计算器比较$5\sqrt{2}$,$4\sqrt{3}$,$3\sqrt{5}$的大小：$3\sqrt{5} ＜ 4\sqrt{3} ＜ 5\sqrt{2}$(用“＜”连接).

答案：
(1)＞
(2)$3\sqrt{5} ＜ 4\sqrt{3} ＜ 5\sqrt{2}$

12. (1)(2025·编写)比较大小：$\sqrt{2}+\sqrt{6}$＜$\sqrt{3}+\sqrt{5}$(填“＞”“＜”或“=”).
(2)(2025·编写)如果a是$\sqrt{14}$的整数部分,b是$\sqrt{14}$的小数部分,那么$(a+\sqrt{14})b$的值是5.

答案：
(1)＜
(2)5

13. (2025·编写)已知$0＜a＜1$,则$a^{2}$,$a$,$\sqrt{a}$,$\frac{1}{a}$这四个数按从大到小的顺序排列为$\frac{1}{a} ＞ \sqrt{a} ＞ a ＞ a^2$.

答案： $\frac{1}{a} ＞ \sqrt{a} ＞ a ＞ a^2$

14. (1)(2025·编写)已知$\sqrt{2a-1}= 3$,$3a+b-1$的平方根是±4,c是$\sqrt{57}$的整数部分,求$a+2b+c$的平方根.
(2)(2025·编写)已知$\sqrt{2a-1}= 3$,$3a-b+1$的平方根是±4,c是$\sqrt{113}$的整数部分,求$a+b+2c$的平方根.

答案：
(1)【解】因为$\sqrt{2a - 1} = 3$，$3a + b - 1$的平方根是$\pm 4$，所以$2a - 1 = 3^2 = 9$，$3a + b - 1 = (\pm 4)^2 = 16$. 解得$a = 5$，$b = 2$. 因为$7 ＜ \sqrt{57} ＜ 8$，所以$c = 7$. 所以$a + 2b + c = 16$. 所以$a + 2b + c$的平方根是$\pm 4$.
(2)【解】$\because \sqrt{2a - 1} = 3$，$\therefore 2a - 1 = 9$，解得$a = 5$. $\because 3a - b + 1$的平方根是$\pm 4$，$\therefore 15 - b + 1 = 16$，解得$b = 0$. $\because \sqrt{100} ＜ \sqrt{113} ＜ \sqrt{121}$，$\therefore 10 ＜ \sqrt{113} ＜ 11$，
 
$\therefore c = 10$，$\therefore a + b + 2c = 5 + 0 + 2 × 10 = 25$，$\therefore a + b + 2c$的平方根为$\pm \sqrt{25} = \pm 5$.

15. (2025·编写)工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪一块面积为24平方分米的长方形的工件.
(1)求正方形工料的边长.
(2)若要求裁下的长方形的长和宽的比为4:3,这块正方形工料是否满足要求?(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)

答案： 【解】
(1)正方形工料的边长为$\sqrt{36} = 6$(分米).
(2)设长方形的长为$4a$分米，则宽为$3a$分米. 由题意，得$4a \cdot 3a = 24$，解得$a = \sqrt{2}$. $\therefore$长为$4a \approx 5.656 ＜ 6$，宽为$3a \approx 4.242 ＜ 6$，$\therefore$满足要求.