《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

11. (2025·编写)下列三角形：①$\triangle ABC$中,$\angle C= \angle A-\angle B$；②$\triangle ABC$中,$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$；③$\triangle ABC$中,$a:b:c = 5:12:13$；④$\triangle ABC$中,三边长分别为$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$. 其中,是直角三角形的有3个.

答案： 3

12. (2025·编写)如图,在每个小正方形的边长为$1$的网格中,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,则$\angle ABC$的度数为$135^{\circ}$.

答案： $135^{\circ}$

13. (2025·编写)如图,$P是正三角形ABC$内的一点,且$PA = 6$,$PB = 8$,$PC = 10$,则$\angle APB$的度数为$150^{\circ}$.

答案： $150^{\circ}$

14. (2025·达州)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$AC = 13$,$BC边上的中线AD = 6$,求$BC^{2}$的值.

答案：
[解]如图，延长 $ AD $ 到点 $ E $，使 $ DE=AD=6 $，连接 $ CE $，则 $ AE=12 $。

∵$D$ 是 $ BC $ 的中点，
∴$BD=DC$。
在 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ECD $ 中，$\begin{cases} AD=DE, \\ \angle ADB=\angle EDC, \\ BD=DC, \end{cases}$
∴$\triangle ABD \cong \triangle ECD(\text{SAS})$，
∴$CE=AB=5$。
在 $ \triangle AEC $ 中，$ AC=13 $，$ AE=12 $，$ CE=5 $，
∴$AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}$，
∴$\triangle ACE$ 是直角三角形，$\angle E=90^{\circ}$，
由勾股定理，得 $ CD^{2}=DE^{2}+CE^{2}=61 $，
∴$BC^{2}=(2CD)^{2}=4CD^{2}=4 × 61=244 $。

15. (2024·金牛)
(1)如图$1$,点$P是线段AB$,$CD$的中点,则$AC与BD$的数量关系为______,位置关系为______；
(2)如图$2$,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D为\triangle ABC$内一点,连接$BD$,$DC$,延长$DC到点E$,使$CE = CD$,连接$AE$,若$BD\perp AE$,请用等式表示$AB$,$BD$,$AE$之间的数量关系,并说明理由.

答案：
[解]
(1)结论：$ AC=BD $，$ AC // BD $。
理由：
∵ 点 $ P $ 是线段 $ AB $，$ CD $ 的中点，
∴$PA=PB$，$ PD=PC $。
在 $ \triangle PAC $ 和 $ \triangle PBD $ 中，$\begin{cases} PA=PB, \\ \angle APC=\angle BPD, \\ PC=PD, \end{cases}$
∴$\triangle PAC \cong \triangle PBD(\text{SAS})$，
∴$AC=BD$，$\angle A=\angle B$，
∴$AC // BD $。
(2)结论：$ AB^{2}=AE^{2}+BD^{2} $。
理由：如图，延长 $ AC $ 到 $ T $，使 $ CT=AC $，连接 $ DT $，$ BT $。

∵$CE=CD$，$ AC=CT $，
∴ 同
(1)可证 $ AE=DT $，$ AE // DT $。
∵$BD \perp AE$，
∴$BD \perp DT$，
∴$\angle TDB=90^{\circ}$，
∴$BT^{2}=DT^{2}+BD^{2}=AE^{2}+BD^{2}$。
∵$BC \perp AC$，$ AC=CT $，
∴$BC$ 是线段 $ AT $ 的垂直平分线，
∴$BT=AB$，
∴$AB^{2}=AE^{2}+BD^{2} $。