《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 3$,$BC= 4$。分别以$AB$,$AC$,$BC为边在AB的同侧作正方形ABEF$,$ACPQ$,$BCMN$,四块阴影部分的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}$等于18。

答案： 18

13. (2025·武侯)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 15$,$BC= 9$,点$P是线段AC$上的一个动点,连接$BP$,将线段$BP绕点P按逆时针方向旋转90^{\circ}得到线段PD$,连接$AD$,则$AD^{2}$的最小值是____18。

答案： 18

14. (2025·编写)如图是高空秋千的示意图,小明从起始位置点$A处绕着点O经过最低点B$,最终荡到最高点$C$处。若$\angle AOC= 90^{\circ}$,点$A与点B的高度差AD= \frac{1}{2}$米,水平距离$BD= 2$米,求点$C与点B$的高度差。

答案：
【解】如图，过点 $A$ 作 $AF\perp BO$ 于点 $F$，过点 $C$ 作 $CG\perp BO$ 于点 $G$．
由题可知，$OA=OB=OC$．
$\because \angle AOC=\angle AOF+\angle COG=90^{\circ}$，$\angle AOF+\angle OAF=90^{\circ}$，$\therefore \angle COG=\angle OAF$．
在 $\triangle AOF$ 和 $\triangle OCG$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle AFO=\angle OGC,\\ \angle OAF=\angle COG,\\ OA=CO,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOF\cong \triangle OCG(AAS)$，$\therefore OG=AF=BD=2$ 米．
设 $OA=x$ 米，在 $Rt\triangle AFO$ 中，
根据勾股定理，得 $AF^{2}+OF^{2}=OA^{2}$，
即 $2^{2}+(x-\frac{1}{2})^{2}=x^{2}$，解得 $x=4.25$，
则 $CE=GB=OB-OG=4.25-2=2.25$ (米)．
$\therefore$ 点 $C$ 与点 $B$ 的高度差为 $2.25$ 米．

15. (2024·龙泉驿)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$D为\triangle ABC$外一点,连接$AD$,$BD$,$CD$,发现$AD= 4$,$CD= 2且\angle ADC= 45^{\circ}$,求$BD$的长度。

答案：
【解】如图，过点 $A$ 作 $AE\perp AD$，使 $AE=AD$，连接 $DE$，$CE$，
$\therefore \angle ADE=45^{\circ}$，$DE^{2}=4^{2}+4^{2}=32$．
$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB=45^{\circ}$．
$\because \angle CAB=\angle DAE=90^{\circ}$，$\therefore \angle DAB=\angle EAC$．
在 $\triangle BAD$ 和 $\triangle CAE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AE,\\ \angle DAB=\angle EAC,\\ AB=AC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BAD\cong \triangle CAE(SAS)$，$\therefore CE=BD$．
$\because \angle ADE=45^{\circ}$，$\angle ADC=45^{\circ}$，$\therefore \angle EDC=90^{\circ}$，
$\therefore CE^{2}=CD^{2}+DE^{2}=4+32=36$，$\therefore CE=6$，
$\therefore BD=6$．