《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2024·成华)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-4,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且与直线 $ l_2:y = \frac{9}{4}x $ 交于点 $ C $,点 $ C $ 的横坐标为 2。
(1) 求直线 $ l_1 $ 的表达式。
(2) 在 $ x $ 轴上取点 $ M $,过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线交直线 $ l_1 $ 于点 $ D $,交直线 $ l_2 $ 于点 $ E $,若 $ DE = 2 $,求点 $ M $ 的坐标。
(3) 在第二象限内是否存在点 $ Q $,使得 $ \triangle QAB $ 为等腰直角三角形？若存在,请直接写出点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
[解]
(1)在$y=\frac{9}{4}x$中，令$x = 2$，得$y=\frac{9}{2}$，
$\therefore C(2,\frac{9}{2})$.设直线$l_{1}$的表达式为$y = kx + b(k\neq 0)$.
把$A(-4,0)$，$C(2,\frac{9}{2})$的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l} -4k + b = 0\\ 2k + b = \frac{9}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} k = \frac{3}{4}\\ b = 3\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$l_{1}$的表达式为$y=\frac{3}{4}x + 3$.
(2)设$M(m,0)$，则$D(m,\frac{3}{4}m + 3)$，$E(m,\frac{9}{4}m)$.
$\because DE = 2$，$\therefore |\frac{3}{4}m + 3 - \frac{9}{4}m| = 2$，$\therefore 3 - \frac{3}{2}m = 2$或$3 - \frac{3}{2}m = -2$，解得$m = \frac{2}{3}$或$m = \frac{10}{3}$，$\therefore$点$M$的坐标为$(\frac{2}{3},0)$或$(\frac{10}{3},0)$.
(3)在$y=\frac{3}{4}x + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3$，$\therefore B(0,3)$.
①如图1，当点$B$为直角顶点时，过点$Q$作$QH⊥y$轴于点$H$.
$\because \triangle QAB$为等腰直角三角形，$\therefore AB = QB$，$\angle QBA = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABO = 90^{\circ} - \angle QBH = \angle BQH$.
$\because \angle AOB = 90^{\circ} = \angle BHQ$，$\therefore \triangle ABO\cong \triangle BQH(AAS)$，
$\therefore OA = BH = 4$，$OB = QH = 3$，$\therefore OH = OB + BH = 7$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(-3,7)$.

②如图2，当点$A$为直角顶点时，过点$Q$作$QT⊥x$轴于点$T$.
同理可得$\triangle AQT\cong \triangle BAO(AAS)$，$\therefore AT = OB = 3$，$QT = OA = 4$，$\therefore OT = OA + AT = 7$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(-7,4)$.

③如图3，当点$Q$为直角顶点时，过点$Q$作$QG⊥y$轴于点$G$，过点$A$作$AW⊥GQ$交$GQ$的延长线于点$W$.

同理可得$\triangle AQW\cong \triangle QBG(AAS)$，
$\therefore AW = QG$，$QW = BG$.
设$Q(p,q)$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} q = -p\\ p - (-4) = q - 3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l} p = -\frac{7}{2}\\ q = \frac{7}{2}\end{array}\right.$，$\therefore$点$Q$的坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{7}{2})$.
综上所述，点$Q$的坐标为$(-3,7)$或$(-7,4)$或$(-\frac{7}{2},\frac{7}{2})$.