《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

7. (2025·编写)若函数 $ y = (m + 1)x^{m^2} - 5 $ 是关于 $ x $ 的一次函数,则 $ m $ 的值为(B)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $ 或 $ -1 $

答案： B

8. (2025·编写)已知函数 $ y = 3x^{|m - 2|} $ 是关于 $ x $ 的正比例函数,则常数 $ m $ 的值为(A)
A.$ 3 $ 或 $ 1 $
B.$ 3 $
C.$ \pm 1 $
D.$ 1 $

答案： A

9. (1)(2025·编写)写出下列各题中 $ x $ 与 $ y $ 之间的关系式,并判断：$ y $ 是否为 $ x $ 的一次函数？是否为正比例函数？
① 汽车以 $ 60 $ 千米/时的速度匀速行驶,行驶路程 $ y $(千米)与行驶时间 $ x $(小时)之间的关系；
② 圆的面积 $ y $(平方厘米)与它的半径 $ x $(厘米)之间的关系；
③ 一棵树现在高 $ 50 $ 厘米,每个月长高 $ 2 $ 厘米,$ x $ 个月后这棵树的高度为 $ y $(厘米)。
(2)(2025·编写)已知关于 $ x $ 的函数 $ y = (m + 1)x + (m^2 - 1) $。
① 当 $ m $ 取什么值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？
② 当 $ m $ 取什么值时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数？
③ 当 $ m $ 取什么值时,该函数与函数 $ y = -x + 3 $ 是同一个函数？

答案：
(1)【解】①行驶路程$y$（千米）与行驶时间$x$（小时）之间的关系为$y = 60x$，是$x$的一次函数，是正比例函数。
②圆的面积$y$（平方厘米）与它的半径$x$（厘米）之间的关系为$y = \pi x^2$，不是$x$的一次函数，不是正比例函数。
③这棵树的高度$y$（厘米）与$x$（月）之间的关系为$y = 50 + 2x$，是$x$的一次函数，不是正比例函数。
(2)【解】①根据一次函数的定义可知$m + 1 \neq 0$，解得$m \neq -1$。
②$\because$函数$y = (m + 1)x + (m^2 - 1)$是正比例函数，
$\therefore m + 1 \neq 0$且$m^2 - 1 = 0$，解得$m = 1$。
③$\because$该函数与函数$y = -x + 3$是同一个函数，
$\therefore m + 1 = -1$且$m^2 - 1 = 3$，解得$m = -2$。

10. (1)(2025·编写)已知 $ y + 1 $ 与 $ x - 1 $ 成正比例,且当 $ x = 3 $ 时 $ y = -5 $,请求出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式,并求出当 $ y = 5 $ 时 $ x $ 的值。
(2)(2024·温江)已知 $ 2y + 1 $ 与 $ 3x - 3 $ 成正比例,且当 $ x = 6 $ 时,$ y = 17 $。求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。

答案：
(1)【解】依题意，设$y + 1 = k(x - 1)(k \neq 0)$，将$x = 3$，$y = -5$代入，
得$-5 + 1 = k(3 - 1)$，
解得$k = -2$。
所以$y + 1 = -2(x - 1)$，即$y = -2x + 1$。
令$y = 5$，解得$x = -2$。
(2)【解】$\because 2y + 1$与$3x - 3$成正比例，
$\therefore$设$2y + 1 = k(3x - 3)(k \neq 0)$。
$\because$当$x = 6$时，$y = 17$，$\therefore 34 + 1 = (18 - 3)k$，
解得$k = \frac{7}{3}$，$\therefore 2y + 1 = \frac{7}{3}(3x - 3)$，$\therefore y = \frac{7}{2}x - 4$，
故$y$与$x$之间的函数关系式为$y = \frac{7}{2}x - 4$。