《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

9. (2025·编写) 已知函数 $ y = (k + 3)x $。
(1) $ k $ 为何值时,函数为正比例函数？
(2) $ k $ 为何值时,函数的图象经过第一、三象限？
(3) $ k $ 为何值时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(4) $ k $ 为何值时,函数的图象经过点 $ (1, 1) $？

答案： [解]
(1)根据题意得$k+3≠0$，解得$k≠-3$。
(2)根据题意得$k+3＞0$，解得$k＞-3$。
(3)根据题意得$k+3＜0$，解得$k＜-3$。
(4)把点$(1,1)$代入$y=(k+3)x$得$k+3=1$，解得$k=-2$，即$k$为$-2$时，函数的图象经过点$(1,1)$。

10. (1) (2025·编写) 已知函数 $ y = (m - 1)x^{m^2 - 3} $ 是正比例函数。
① 若函数关系式中 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,求 $ m $ 的值；
② 若函数的图象经过第一、三象限,求 $ m $ 的值。
(2) (2025·编写) 如图,一次函数 $ y = -\frac{2}{3}x - 4 $ 与正比例函数 $ y = kx $ 的图象交于第三象限内的点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且 $ AO = AB $,求正比例函数的解析式。

答案：
(1)[解]
∵函数$y=(m-1)x^{m^{2}-3}$是正比例函数，
∴$\begin{cases}m-1≠0\\m^{2}-3=1\end{cases}$，解得$m_1=-2$，$m_2=2$。
①
∵函数关系式中$y$随$x$的增大而减小，
∴$m-1＜0$，
∴$m＜1$，
∴$m=-2$。
②
∵函数的图象经过第一、三象限，
∴$m-1＞0$，
∴$m＞1$，
∴$m=2$。
(2)[解]
∵一次函数$y=-\frac{2}{3}x-4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$和点$B$，
∴$B(0,-4)$，$C(-6,0)$。
∴$OC=6$，$OB=4$。
∵$AO=AB$，
∴$∠AOB=∠ABO$。
∵$∠AOB+∠AOC=90^{\circ}$，$∠ABO+∠ACO=90^{\circ}$，
∴$∠ACO=∠AOC$，
∴$AO=AC$，
∴$AC=AO=AB$，
∴$A$是$BC$的中点。
由中点坐标公式得$A(-3,-2)$。
把点$A$的坐标代入$y=kx$，得$-2=-3k$，
解得$k=\frac{2}{3}$。
故正比例函数的解析式为$y=\frac{2}{3}x$。

11. (2025·锦江) 在平面直角坐标系中,直线 $ y = -2x + 2 $ 经过点 $ (a, b) $,则代数式 $ 2a + b = $2。

答案： 2

12. (2025·编写) 如图,10 个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线 $ l $ 将这 10 个正方形分成面积相等的两部分,则该直线 $ l $ 的解析式为$y=\frac{9}{14}x$。

答案： $y=\frac{9}{14}x$