《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

7. (2025·锦江)关于一次函数$y = -2x + 3$,下列结论正确的是 (C)
A.图象不经过第二象限
B.图象与$x轴的交点是(0,3)$
C.将一次函数$y = -2x + 3$的图象向上平移3个单位长度后,所得图象的函数表达式为$y = -2x + 6$
D.点$(x_1,y_1)和(x_2,y_2)在一次函数y = -2x + 3$的图象上,若$x_1 ＜ x_2$,则$y_1 ＜ y_2$

答案： C

8. (2024·青羊)若代数式$\sqrt{3 - k}$在实数范围内有意义,则一次函数$y = (k - 3)x - k + 3$的图象可能是 (C)

 

答案： C

9. (1) (2025·编写)已知一次函数的图象过点$(3,5)与点(-4,-9)$,求这个一次函数的解析式.
(2) (2025·编写)已知$y + 6与x$成正比例,且当$x = 3$时,$y = -12$,求$y与x$之间的函数关系式.

答案：
(1)【解】设这个一次函数的解析式为 $y=kx+b$，
根据题意得 $\begin{cases}3k+b=5,\\ -4k+b=-9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\ b=-1,\end{cases}$
所以这个一次函数的解析式为 $y=2x-1$。
(2)【解】$\because y+6$ 与 $x$ 成正比例，$\therefore$ 设 $y+6=kx(k\neq0)$。
$\because$ 当 $x=3$ 时，$y=-12$，
$\therefore -12+6=3k$，解得 $k=-2$，$\therefore y+6=-2x$，
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=-2x-6$。

10. (2024·龙泉驿)如图,一次函数$y = -\frac{3}{4}x + 3的图象分别与x$轴、$y轴交于点A$,$B$,以线段$AB为边在第一象限内作等腰Rt\triangle ABC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$. 求过$B$,$C$两点的直线的表达式.

答案：
【解】在一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$ 中，令 $x=0$，得 $y=3$；令 $y=0$，得 $x=4$，
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(0,3)$，点 $A$ 的坐标是 $(4,0)$。
如图，过点 $C$ 作 $CD\perp x$ 轴于点 $D$。

$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$\therefore \angle BAO+\angle CAD=90^{\circ}$。
又 $\because \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ}$，$\therefore \angle ACD=\angle BAO$。
在 $\triangle ABO$ 与 $\triangle CAD$ 中，$\begin{cases}\angle BAO=\angle ACD,\\ \angle BOA=\angle ADC=90^{\circ},\\ AB=CA,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABO\cong \triangle CAD(AAS)$，
$\therefore OB=AD=3$，$OA=CD=4$，$OD=OA+AD=7$，
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(7,4)$。
设直线 $BC$ 的表达式是 $y=kx+b(k\neq0)$，
根据题意，得 $\begin{cases}b=3,\\ 7k+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{1}{7},\\ b=3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $BC$ 的表达式是 $y=\frac{1}{7}x+3$。

11. (2025·编写)如图,将含$45^{\circ}$角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中,其中点$A(-2,0)$,$B(0,1)$,则直线$BC$的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x+1$.

答案： $y=-\frac{1}{3}x+1$

12. (2022·青羊)对于平面直角坐标系中的点$P(x,y)$,若$x$,$y满足|x - y| = 5$,则点$P(x,y)$就称为“平衡点”. 例如：$(1,6)$,因为$|1 - 6| = 5$,所以$(1,6)$是“平衡点”. 已知一次函数$y = 3x + k$($k$为常数)图象上有一个“平衡点”的坐标是$(3,8)$,则一次函数$y = 3x + k$($k$为常数)图象上另一“平衡点”的坐标是$(-2,-7)$.

答案： $(-2,-7)$ 【解析】$\because$ 一次函数 $y=3x+k$ ($k$ 为常数)图象上有一个“平衡点”的坐标是 $(3,8)$，$\therefore 8=3×3+k$，$\therefore k=-1$，$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=3x-1$。$\because |x-(3x-1)|=5$，解得 $x=-2$ 或 $x=3$ (舍去)。当 $x=-2$ 时，$y=3×(-2)-1=-7$，$\therefore$ 一次函数 $y=3x+k$ ($k$ 为常数)图象上另一“平衡点”的坐标是 $(-2,-7)$。故答案为 $(-2,-7)$。