《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2025·锦江)如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线$l:y= \frac {1}{2}x+1$与x轴、y轴交于点A,B,直线l关于y轴对称的直线与x轴交于点C.
(1) 求直线BC的函数表达式.
(2) 如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形,那么这个四边形称为“等腰四边形”,这条对角线称为“界线”. 在平面内是否存在一点D,使得四边形ABCD是以AC为“界线”的“等腰四边形”,且$AD= AB$? 若存在,求点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 如图2,点M在直线l上,横坐标为$-\frac {1}{4}$,直线ME与x轴正半轴交于点E,与y轴交于点F,当常数m等于多少时,$\frac {m}{OF}+\frac {1}{OE}$为定值?

答案：
【解】
(1)$\because$直线l关于y轴对称的直线与x轴交于点C,$\therefore$直线AB和BC关于y轴对称,
则直线BC的函数表达式为$y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1$.
(2)①如图1,由题意,得点D和点$B ( 0, 1 )$关于x轴对称时,符合题设条件,即点$D ( 0, - 1 )$;

②如图2,当$C D = 4$且$A D = A B = \sqrt { 5 }$也符合题意,设点$D ( x, y )$,
则$( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 16$且$( x + 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 5$,
解得$x = - \frac { 11 } { 8 }, y = \pm \frac { \sqrt { 295 } } { 8 }$,
$\because$四边形ABCD是凸四边形,
$\therefore x = - \frac { 11 } { 8 }, y = - \frac { \sqrt { 295 } } { 8 }$,
即点$D \left( - \frac { 11 } { 8 }, - \frac { \sqrt { 295 } } { 8 } \right)$.
综上所述,点D的坐标是$( 0, - 1 )$或$\left( - \frac { 11 } { 8 }, - \frac { \sqrt { 295 } } { 8 } \right)$.
(3)点M在直线l上,横坐标为$- \frac { 1 } { 4 }$,则点$M \left( - \frac { 1 } { 4 }, \frac { 7 } { 8 } \right)$.
设直线ME的函数表达式为$y = k \left( x + \frac { 1 } { 4 } \right) + \frac { 7 } { 8 }$,
则点F,E的坐标分别为$\left( 0, \frac { 7 } { 8 } + \frac { 1 } { 4 } k \right)$,$\left( - \frac { 1 } { 4 } - \frac { 7 } { 8 k }, 0 \right)$.
设$\frac { m } { O F } + \frac { 1 } { O E } = - \frac { 8 k } { 2 k + 7 } + \frac { 8 m } { 2 k + 7 } = A$(定值),
则$8 m - 8 k = A ( 2 k + 7 )$,
$\therefore 2 k + 7 = 0, 8 m - 8 k = 0$,解得$m = - \frac { 7 } { 2 }$.