《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

1. 二次根式：式子$\sqrt { a }$(a≥0)叫作二次根式。

答案： a≥0

2. 二次根式的两个重要公式：
(1)$( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = $a$( a \geq 0 )$。
(2)$\sqrt { a ^ { 2 } } = $|a|$= \left\{ \begin{array} { l } { a ( a \geq 0 ), } \\ { - a ( a ＜ 0 ). } \end{array} \right.$
(3)二次根式的乘、除法则：
①$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$= \sqrt { a b } ( a \geq 0, b \geq 0 )$；
②$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$= \sqrt { \frac { a } { b } } ( a \geq 0, b ＞ 0 )$。
(4)整式的四则运算法则对二次根式同样适用。

答案：
(1) a
(2) |a|
(3) ① $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ② $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

1. (1)(2025·编写)计算：$\sqrt { 8 } × \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } = $2。
(2)(2025·编写)计算：$( \sqrt { 2 } + 1 ) ( \sqrt { 2 } - 1 ) = $1。

答案：
(1) 2
(2) 1

2. (1)(2025·编写)实数$a$,$b$在数轴上对应点的位置如图所示,化简$| a | + \sqrt { ( a - b ) ^ { 2 } }$的结果是b−2a。

(2)(2024·青羊)若式子$\frac { \sqrt { x - 1 } } { x - 2 }$有意义,则$x$的取值范围是x≥1且x≠2。

答案：
(1) b−2a
(2) x≥1且x≠2

3. (1)(2025·编写)计算$\frac { \sqrt { 5 } × \sqrt { 15 } } { \sqrt { 3 } }$的结果是5。
(2)(2025·编写)若式子$\frac { \sqrt { x - 2 } } { x - 3 }$有意义,则$x$的取值范围是x≥2且x≠3。

答案：
(1) 5
(2) x≥2且x≠3

4. (1)(2025·编写)计算$( \sqrt { 3 } + 1 ) ( \sqrt { 3 } - 1 )$的结果等于2。
(2)(2025·编写)若$2 ＜ x ＜ 3$,化简$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } } + | 3 - x |$的结果是1。

答案：
(1) 2
(2) 1

5. (2025·编写)在下列代数式中,不是二次根式的是(D)
A.$\sqrt { 3 }$
B.$\sqrt { \frac { 1 } { 3 } }$
C.$\sqrt { x ^ { 2 } }$
D.$\frac { 2 } { x }$

答案： D

6. (2025·编写)计算$\sqrt { 18 } ÷ \sqrt { \frac { 3 } { 4 } } × \sqrt { \frac { 4 } { 3 } }$的结果为(B)
A.$3 \sqrt { 2 }$
B.$4 \sqrt { 2 }$
C.$5 \sqrt { 2 }$
D.$6 \sqrt { 2 }$

答案： B

7. (2025·编写)下列各式中不是二次根式的是(B)
A.$\sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$
B.$\sqrt { - 4 }$
C.$\sqrt { 0 }$
D.$\sqrt { ( a - b ) ^ { 2 } }$

答案： B

8. (2025·新津)下列各式中,计算正确的是(B)
A.$\sqrt { 6 } ÷ \sqrt { 3 } = \sqrt { 3 }$
B.$2 \sqrt { 2 } - \sqrt { 2 } = \sqrt { 2 }$
C.$\sqrt { ( - 4 ) × ( - 9 ) } = \sqrt { - 4 } × \sqrt { - 9 }$
D.$\sqrt { 8 a ^ { 2 } } = 4 \sqrt { a } ( a ＞ 0 )$

答案： B

9. (1)(2024·成华)计算：$\sqrt { 45 } ÷ 3 \sqrt { 3 } × \sqrt { \frac { 3 } { 5 } }$；
(2)(2025·编写)计算：$2 \sqrt { 12 } × \frac { 3 } { 4 } ÷ 3 \sqrt { 2 }$。
(3)(2025·成华)计算：$( 1 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + ( 3 - \sqrt { 3 } ) ( 3 + \sqrt { 3 } )$。
(4)(2024·贵州)计算：$- 2 ^ { 2 } + \sqrt { 36 } - \sqrt [ 3 ] { 8 } + | \sqrt { 3 } - 2 |$。

答案：
(1)[解]原式 = 3$\sqrt{5}$÷3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{5}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$×$\frac{\sqrt{15}}{5}$ = $\frac{\sqrt{15}}{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{5}$ = $\frac{15}{15}$ = 1
(2)[解]原式 = (2×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$)$\sqrt{\frac{12}{2}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{2}$
(3)[解]原式 = (1 + 2$\sqrt{3}$ + 3) + (9 - 3) = 4 + 2$\sqrt{3}$ + 6 = 10 + 2$\sqrt{3}$
(4)[解]原式 = -4 + 6 - 2 + 2 - $\sqrt{3}$ = 2 - $\sqrt{3}$