《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2025·双流)如图,在平面直角坐标系中,直线$y = 2x + 8与x$轴,$y轴分别交于点A$,$C$,经过点$C的直线与x轴交于点B(8,0)$。
(1)求直线$BC$的解析式；
(2)如图$1$,点$G是线段BC$上一动点,当点$G距离y轴3$个单位长度时,求$\triangle ACG$的面积；
(3)如图$2$,已知$D为AC$的中点,点$O关于点A的对称点为点Q$,点$P在直线BC$上,当$\angle DQP = 45^{\circ}$时,求点$P$的坐标。

答案：
【解】
(1) $ \because y = 2x + 8 $，
$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 8 $，当 $ y = 0 $ 时，$ x = -4 $，
$ \therefore A(-4,0) $，$ C(0,8) $。
设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = kx + 8 $。
把 $ B(8,0) $ 代入，得 $ k = -1 $，
$ \therefore $ 直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = -x + 8 $。
(2)如图 1 所示：

$ \because $ 点 $ G $ 距离 $ y $ 轴 3 个单位长度，
$ \therefore $ 点 $ G $ 的横坐标为 3（负值已舍去）。
当 $ x = 3 $ 时，$ y = -3 + 8 = 5 $，$ \therefore G(3,5) $。
$ \because A(-4,0) $，$ C(0,8) $，$ G(3,5) $，
$ \therefore S_{\triangle ACG} = \frac{1}{2} × 12 × 8 - \frac{1}{2} × 12 × 5 = 18 $。
(3) $ \because A(-4,0) $，$ C(0,8) $，$ D $ 为 $ AC $ 的中点，
$ \therefore D(-2,4) $，
$ \because $ 点 $ O $ 关于点 $ A $ 的对称点为点 $ Q $，$ \therefore Q(-8,0) $。
①如图 2，当 $ P $ 在 $ x $ 轴下方时，过点 $ Q $ 作 $ EQ \perp DQ $，且 $ EQ = DQ $，过点 $ Q $ 作 $ MN \perp x $ 轴，过点 $ D $ 作 $ DM \perp QM $，过点 $ E $ 作 $ EN \perp QN $，则 $ DM = 6 $，$ QM = 4 $，连接 $ DE $。

$ \therefore \angle DMQ = \angle ENQ = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle DQM = \angle NEQ = 90^{\circ} - \angle NQE $。
又 $ \because EQ = DQ $，$ \therefore \triangle DMQ \cong \triangle QNE(AAS) $，
$ \therefore QN = DM = 6 $，$ EN = MQ = 4 $，$ \therefore E(-4,-6) $。
取 $ DE $ 的中点 $ F $，则 $ F(-3,-1) $。
连接 $ QF $，则 $ \angle DQF = \frac{1}{2} \angle DQE = 45^{\circ} $。
$ \because \angle DQP = 45^{\circ} $，$ \therefore $ 点 $ P $ 在直线 $ QF $ 上。
设直线 $ QF $ 的解析式为 $ y = ax + b $，
则有 $ \begin{cases} -8a + b = 0, \\ -3a + b = -1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{5}, \\ b = -\frac{8}{5}, \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ QF $ 的解析式为 $ y = -\frac{1}{5}x - \frac{8}{5} $。
联立得 $ \begin{cases} y = -\frac{1}{5}x - \frac{8}{5}, \\ y = -x + 8, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 12, \\ y = -4, \end{cases} $
$ \therefore P(12,-4) $；
②如图 3，当点 $ P $ 在 $ x $ 轴上方时，过点 $ Q $ 作 $ EQ \perp DQ $，且 $ EQ = DQ $，过点 $ D $ 作 $ DM \perp x $ 轴，过点 $ E $ 作 $ EN \perp x $ 轴，连接 $ DE $。

同理可得，$ F(-7,5) $。
设直线 $ QF $ 的解析式为 $ y = mx + n $，
则有 $ \begin{cases} -7m + n = 5, \\ -8m + n = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 5, \\ n = 40, \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ QF $ 的解析式为 $ y = 5x + 40 $。
联立 $ \begin{cases} y = 5x + 40, \\ y = -x + 8, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = -\frac{16}{3}, \\ y = \frac{40}{3}. \end{cases} $
$ \therefore P(-\frac{16}{3}, \frac{40}{3}) $。
综上所述，点 $ P $ 的坐标为 $ (12,-4) $ 或 $ (-\frac{16}{3}, \frac{40}{3}) $。