《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)甲、乙分别从 $ A,B $ 两地同时相向步行,2 小时后在中途相遇,相遇后,甲、乙步行的速度都提高了 1 千米/时,当甲到达 $ B $ 地后立刻按原路向 $ A $ 地返行,当乙到达 $ A $ 地后也立刻按原路向 $ B $ 地返行,甲、乙二人在第一次相遇后 3 小时 36 分又再次相遇,则 $ A,B $ 两地的距离是______千米.
[答案]：36

答案： 36

14. (2025·编写)某商场用相同的价格分三次购进 $ A $ 型和 $ B $ 型两种型号的电视机,前两次购进的情况如下表.
| | $ A $ 型(台) | $ B $ 型(台) | 总进价(元) |
| 第一次 | 20 | 30 | 90000 |
| 第二次 | 10 | 20 | 55000 |
(1)该商场购进 $ A $ 型和 $ B $ 型电视机的单价各为多少元?
(2)已知商场第三次购进 $ A $ 型和 $ B $ 型电视机共 40 台,$ A $ 型电视机的标价为每台 2000 元,$ B $ 型电视机的标价为每台 3750 元,不考虑其他因素,为了促销,$ A $ 型电视机打九折、$ B $ 型电视机打八折销售,设购进 $ A $ 型电视机 $ a $ 台,销售完这 40 台电视机商场可获利 $ W $ 元.
①求出利润 $ W $ 与 $ a $ 的函数关系式;
②若利润为 31600 元,此时应购进 $ A $ 型和 $ B $ 型电视机各多少台?

答案： 【解】
(1)设该商场购进$A$型电视机的单价为$x$元，$B$型电视机的单价为$y$元.
依题意，得$\begin{cases}20x + 30y = 90000,\\10x + 20y = 55000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1500,\\y = 2000.\end{cases}$
答：该商场购进$A$型电视机的单价为$1500$元，$B$型电视机的单价为$2000$元.
(2)①设购进$A$型电视机$a$台，销售完这$40$台电视机商场可获利$W$元，则购进$B$型电视机$(40 - a)$台.
依题意，得$W = (2000×0.9 - 1500)a + (3750×0.8 - 2000)(40 - a) = -700a + 40000$.
②当$W = 31600$时，$-700a + 40000 = 31600$，
$\therefore a = 12$，$\therefore 40 - a = 28$.
答：此时应购进$A$型电视机$12$台，$B$型电视机$28$台.

15. (2024·简阳)某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共 60 万套,两种礼盒的成本和售价如下表所示.
| | 甲 | 乙 |
| 成本(元/套) | 20 | 24 |
| 售价(元/套) | 25 | 30 |
(1)该工厂计划筹集资金 1340 万元,且全部用于生产甲、乙两种礼盒,则这两种礼盒各生产多少万套?
(2)经过市场调查,该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒 $ m $ 万套,增加生产乙种礼盒 $ n $ 万套($ m,n $ 都为正整数),且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为 400 万元,请问该工厂有几种生产方案? 请写出所有可行的生产方案.

答案： 【解】
(1)设甲种礼盒生产$x$万套，乙种礼盒生产$y$万套.
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 60,\\20x + 24y = 1340,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 35.\end{cases}$
答：甲种礼盒生产$25$万套，乙种礼盒生产$35$万套.
(2)根据题意，得$(25 - 20)(25 + m) + (30 - 24)(35 + n) = 400$，$\therefore m = 13 - \dfrac{6}{5}n$.
又$\because m$，$n$均为正整数，$\therefore\begin{cases}m = 7,\\n = 5\end{cases}$或$\begin{cases}m = 1,\\n = 10,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}25 + m = 32,\\35 + n = 40\end{cases}$或$\begin{cases}25 + m = 26,\\35 + n = 45,\end{cases}$
$\therefore$该工厂有$2$种生产方案，
方案$1$：生产甲种礼盒$32$万套，乙种礼盒$40$万套；
方案$2$：生产甲种礼盒$26$万套，乙种礼盒$45$万套.