《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

11. (2025·编写) 已知关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}2x - y = k,\\x + y = 3\end{cases} 的解满足方程x - 2y = 4$,则$k$的值为7.

答案： $7$

12. (1) (2025·双流) 若关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}x + 4y = 2m - 3,\\-2x + y = 5m - 12\end{cases} 的解x$,$y$互为相反数,则$m$的值为3.
(2) (2025·编写) 若$x$,$y$,$z满足方程组\begin{cases}4x - 3y - 6z = 0,\\x + 2y - 7z = 0,\end{cases} 则\frac{2x^2 + 3y^2 - 6z^2}{x^2 + 5y^2 - 4z^2}$的值为$\frac{24}{25}$.

答案：
(1)$3$
(2)$\frac{24}{25}$

13. (2025·青羊) 对于有理数$a$,$b$定义新的运算：$a\otimes b = a + b$,$a\oplus b = a - b$,若$a\otimes 2b = 4$,$a\oplus b = -5$,则$(a + b)^{2025}$的值为1.

答案： $1$

14. (1) (2025·编写) 已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}2x + y = 3,\\x - my = 4\end{cases} 与\begin{cases}3x - 2y = 1,\\nx - y = 2\end{cases} $的解相同,求$mn$的值.
(2) (2024·天府新区) 对于有理数$a$,$b$,我们定义新运算：$a\otimes b = ax + by$,等号右边是正常运算,其中$x$,$y$是常数,若$1\otimes 2 = 1$,$(-3)\otimes 3 = 6$,求$2\otimes (-5)$的值.

答案：
(1)【解】由题意得方程组$\begin{cases}2x + y = 3,\\3x - 2y = 1\end{cases}$与$\begin{cases}x - my = 4,\\nx - y = 2\end{cases}$同解，
解方程组$\begin{cases}2x + y = 3,\\3x - 2y = 1,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$
将$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}x - my = 4,\\nx - y = 2,\end{cases}$得$\begin{cases}1 - m = 4,\\n - 1 = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -3,\\n = 3.\end{cases}$
所以$mn = -3× 3 = -9$。
(2)【解】$\because 1\otimes 2 = 1$，$\therefore x + 2y = 1$。
$\because (-3)\otimes 3 = 6$，$\therefore -3x + 3y = 6$，
$\therefore x - y = -2$，$\therefore \begin{cases}x + 2y = 1 &①,\\x - y = -2 &②.\end{cases}$
①$-$②，得$3y = 3$，解得$y = 1$。
把$y = 1$代入①，得$x + 2 = 1$，解得$x = -1$，
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 1,\end{cases}$
$\therefore 2\otimes (-5) = 2x + (-5)y = 2x - 5y = -2 - 5 = -7$。

15. (2025·编写) 已知$x$,$y满足方程组\begin{cases}3x^2 - 2xy + 12y^2 = 47,\\2x^2 + xy + 8y^2 = 36.\end{cases} $
(1) 求$x^2 + 4y^2$的值；
(2) 若$(2y + x)^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy$,求$\frac{1}{x} + \frac{1}{2y}$的值.

答案： 【解】
(1)$\begin{cases}3x^2 - 2xy + 12y^2 = 47, &①\\2x^2 + xy + 8y^2 = 36, &②\end{cases}$
①$+$②$× 2$，得$7x^2 + 28y^2 = 119$，
整理，得$x^2 + 4y^2 = 17$。
(2)②$× 3 -$①$× 2$，得$7xy = 14$，解得$xy = 2$，
则$(2y + x)^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy = 25$，
$\therefore 2y + x = \pm 5$，
$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{2y} = \frac{2y + x}{2xy} = \pm \frac{5}{4}$。