《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)如图,在一个高为5m、长为13m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少应是(B)
A.13m
B.17m
C.18m
D.25m

答案： B

9. (1)(2025·武侯)如图,有一张长方形纸片$ABCD$中,纸片宽$AB= 5cm$,沿直线$AE把\triangle ADE$折叠,使点$D恰好落在边BC上的点F$处,已知$\triangle ABF的面积是30cm^{2}$.
①求$AD$的长；
②求$\triangle ADE$的面积.

(2)(2025·编写)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 8$,$BC= 7$,以斜边$AB为边向外作正方形ABDE$,连接$CE$. 求$CE$的长.

答案：

(1)[解]①
∵△ABF的面积是30cm²,AB=5cm,∠B=90°,
∴$\frac{1}{2}$AB·BF=30,即$\frac{1}{2}$×5·BF=30,
解得BF=12(cm).
在Rt△ABF中,AF²=AB²+BF²=5²+12²=169,
∴AF=13cm.
∵沿直线AE把△ADE折叠，得到△AFE,
∴AD=AF=13cm.
②设EF=DE=xcm,则EC=(5−x)cm.
∵BF=12cm,AD=BC=13cm,
∴FC=BC−BF=13−12=1(cm).
在Rt△EFC中,1²+(5−x)²=x²,
解得x=$\frac{13}{5}$,
∴DE=$\frac{13}{5}$cm,
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$AD·DE=$\frac{1}{2}$×13×$\frac{13}{5}$=$\frac{169}{10}$(cm²).
(2)[解]如图，过点E作EF⊥AC,交CA的延长线于点F.
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE=90°,AE=AB.
∵∠EAF+∠AEF=90°,
∠EAF+∠BAC=90°,
∴∠AEF=∠BAC.
在△AEF和△BAC中，$\begin{cases} ∠F=∠ACB=90° \\ ∠AEF=∠BAC \\ AE=AB \end{cases}$
∴△AEF≌△BAC(AAS),
∴EF=AC=8,AF=BC=7.
在Rt△ECF中,EF=8,FC=FA+AC=8+7=15.根据勾股定理,得CE²=8²+15²=289,
∴CE=17.

10. (2025·高新)在一条东西走向河的一侧有一村庄$C$,河边原有两个取水点$A$,$B$,其中$AB= AC$,由于某种原因,由$C到A$,$B$的路现在已经不通,某村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点$H$($A$,$H$,$B$在一条直线上),并新修一条路$CH$,测得$CB= 5$千米,$CH= 4$千米,$HB= 3$千米.
(1)问$CH是否为从村庄C$到河边的最近路？(即问：$CH与AB$是否垂直？)请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线$AC$的长.

答案： [解]
(1)CH是从村庄C到河边的最近路，理由如下:
∵4²+3²=5²,
∴CH²+BH²=BC²,
∴△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°,
∴CH⊥AB,
∴CH是从村庄C到河边的最近路.
(2)设AC=x千米,则AB=x千米，
∴AH=AB−HB=(x−3)千米.
在Rt△ACH中，由勾股定理,得AC²=AH²+CH²,即x²=(x−3)²+4²,解得x=$\frac{25}{6}$.
即原来的路线AC的长为$\frac{25}{6}$千米.