《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2025·编写)如图,已知点$D(- 1,0)$,直线$l_1的解析式为y = - x + 6$,经过点$C(2,n)$,与$x轴交于点A$,与$y轴交于点B$。
(1)如图1,若直线$l_2经过点D$,与直线$l_1交于点C$,求直线$l_2$的解析式；
(2)$M是x$轴上一动点,若$\triangle CDM$为等腰三角形,求点$M$的坐标；
(3)如图2,已知$E为直线l_1$上一动点,连接$DE$,将$DE绕点D逆时针旋转90^{\circ}到DF$,若$CF = 5$,求此时点$F$的坐标。

答案：
【解】
(1) 对于 $l_{1}: y=-x+6$，令 $y=-x+6=0$，则 $x=6$，令 $x=0$，则 $y=6$，故点 $A, B$ 的坐标分别为 $(6,0),(0,6)$。当 $x=2$ 时，$y=-x+6=-2+6=4=n$，故点 $C$ 的坐标为 $(2,4)$。设直线 $l_{2}$ 的表达式为 $y=k x+b$，将点 $C, D$ 的坐标代入上式得 $\left\{\begin{array}{l} 4=2 k+b, \\ 0=-k+b, \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} k=\frac{4}{3}, \\ b=\frac{4}{3}, \end{array}\right.$ 故直线 $l_{2}$ 的解析式为 $y=\frac{4}{3} x+\frac{4}{3}$。
(2) 设点 $M(x, 0)$，如图 1，过点 $C$ 作 $CH \perp x$ 轴于点 $H$，则 $M C^{2}=C H^{2}+H M^{2}=(x-2)^{2}+4^{2}$。
同理可得：$C D^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$M D^{2}=(x+1)^{2}$。
当 $M C=C D$ 时，即 $(x-2)^{2}+4^{2}=25$，解得 $x=5$ 或 $x=-1$ (舍去)；
当 $M C=M D$ 时，同理可得 $x=\frac{19}{6}$；
当 $C D=M D$ 时，同理可得 $x=4$ 或 $x=-6$。
故点 $M$ 的坐标为 $(5,0)$ 或 $\left(\frac{19}{6}, 0\right)$ 或 $(4,0)$ 或 $(-6,0)$。
(3) 设点 $E$ 的坐标为 $(a, 6-a)$，如图 2，分别过点 $E, F$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $M, N$。
$\because \angle E D F=90^{\circ}$，$\therefore \angle E D M+\angle D E M=90^{\circ}$。
$\because \angle E D M+\angle F D N=90^{\circ}$，
$\therefore \angle F D N=\angle D E M$。
$\because \angle F N D=\angle D M E=90^{\circ}, D F=D E$，
$\therefore \triangle F N D \cong \triangle D M E(A A S)$，
$\therefore F N=D M, N D=E M$，
即 $F N=D M=a+1, N D=E M=6-a$，
故点 $F$ 的坐标为 $(a-7, a+1)$。
而点 $C(2,4)$，所以 $F C^{2}=(a-7-2)^{2}+(a+1-4)^{2}=25$，
解得 $a=\frac{12 \pm \sqrt{14}}{2}$。
$\because$ 点 $F$ 的坐标为 $(a-7, a+1)$，
$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $\left(-1-\frac{\sqrt{14}}{2}, 7-\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$ 或 $\left(-1+\frac{\sqrt{14}}{2}, 7+\frac{\sqrt{14}}{2}\right)$。