《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,$ A $,$ B $ 两点的坐标分别为 $ (2,4) $,$ (6,0) $,点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一点,且 $ \triangle ABP $ 的面积为 6,则点 $ P $ 的坐标为$(3,0)$ 或 $(9,0)$。

答案： $(3,0)$ 或 $(9,0)$

13. (2025·编写)点 $ P $ 的坐标为 $ (2 - a,3a + 6) $,且到两坐标轴的距离相等,则点 $ P $ 的坐标为$(3,3)$ 或 $(6,-6)$。

答案： $(3,3)$ 或 $(6,-6)$

14. (2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ A(0,4) $,$ B(8,0) $,$ C(8,6) $。
(1) 求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(2) 如果在第二象限内有一点 $ P(m,1) $,且四边形 $ ABOP $ 的面积是 $ \triangle ABC $ 的面积的 2 倍,求满足条件的点 $ P $ 的坐标。

答案： 【解】
(1) $\because B(8,0)$，$C(8,6)$，$\therefore BC\perp x$ 轴，$BC = 6$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 6× 8 = 24$。
(2) $\because A(0,4)$，$B(8,0)$，$\therefore OA = 4$，$OB = 8$，
$\therefore S_{四边形ABOP}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}× 4× 8+\frac{1}{2}× 4(-m)=16 - 2m$。
又 $\because S_{四边形ABOP}=2S_{\triangle ABC}=48$，
$\therefore 16 - 2m = 48$，解得 $m = - 16$，
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-16,1)$。

15. (2025·锦江)凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部,且四个内角均小于 $ 180^{\circ} $ 的四边形,在平面直角坐标系中,已知凸四边形 $ AOBC $ 的边 $ OA = OB = BC \neq AC $,且点 $ O(0,0) $,点 $ A(0,16) $,点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上,如果对角线 $ OC $ 把四边形 $ AOBC $ 分割成了两个等腰三角形,求点 $ C $ 的坐标。

答案：
【解】$\because OA = OB = BC\neq AC$，点 $O(0,0)$，点 $A(0,16)$，点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，
$\therefore OA = OB = BC = 16$，$\therefore\triangle OBC$ 是等腰三角形，
$\therefore$ 当对角线 $OC$ 把四边形 $AOBC$ 分割成了两个等腰三角形时，$\triangle OAC$ 也是等腰三角形，有以下两种情况：
① 当 $OC = OA = 16$ 时，过点 $C$ 作 $CD\perp x$ 轴于点 $D$，如图 1 所示。

$\because OA = OB = BC = 16$，$\therefore\triangle OBC$ 是等边三角形，
$\therefore OD = BD=\frac{1}{2}OB = 8$。
在 $Rt\triangle OCD$ 中，由勾股定理，得 $CD=\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{16^{2}-8^{2}}=8\sqrt{3}$，
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(8,8\sqrt{3})$；
② 当 $AC = OC$ 时，过点 $C$ 作 $CE\perp y$ 轴于点 $E$，$CF\perp x$ 轴于点 $F$，如图 2 所示。

$\therefore AE = OE=\frac{1}{2}OA = 8$，$\angle CEO=\angle CFO=\angle EOF = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形 $CEOF$ 是长方形，
$\therefore CF = OE = 8$，$CE = OF = OB + BF = 16 + BF$。
在 $Rt\triangle BCF$ 中，$BC = 16$，$CF = 8$，
由勾股定理，得 $BF=\sqrt{BC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{16^{2}-8^{2}}=8\sqrt{3}$，
$\therefore CE = 16 + BF = 16 + 8\sqrt{3}$，
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(16 + 8\sqrt{3},8)$。
综上所述，点 $C$ 的坐标为 $(8,8\sqrt{3})$ 或 $(16 + 8\sqrt{3},8)$。