《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)如图,已知$A(1,5)$,直线$l_1$：$y = x$,直线$l_2过原点且与x轴正半轴成60^{\circ}$夹角,在$l_1上有一动点M$,在$l_2上有一动点N$,连接$AM$,$MN$,则$AM + MN$的最小值为$\frac{5}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}$

14. (2025·编写)如图,直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 5与x$轴、$y轴分别交于点A和点B$,点$C$,$D分别为线段AB$,$BO$上的两个动点,$OP = \sqrt{3}$,$\angle BAO = 30^{\circ}$,求$\triangle PCD$周长的最小值.

答案：
【解】由一次函数的表达式，得点 $A(-5\sqrt{3},0)$，则 $AP=4\sqrt{3}$。
如图，作点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点 $Q(\sqrt{3},0)$，点 $P$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $N$，则 $PD=QD$，$CP=CN$，

过点 $N$ 作 $NH\perp x$ 轴于点 $H$，$PN$ 交 $AB$ 于点 $T$，连接 $NQ$ 交 $AB$ 于点 $C$，交 $y$ 轴于点 $D$，此时，$\triangle PCD$ 的周长最小。
理由：$\triangle PCD$ 的周长 $=PC+CD+PD=NC+CD+DQ=QN$ 为最小。
在 $Rt\triangle APT$ 中，$\angle BAO=30^{\circ}$，则 $PT=\frac{1}{2}AP=2\sqrt{3}$，$\angle NPH=60^{\circ}$，则 $PN=2PT=4\sqrt{3}$。
在 $Rt\triangle PNH$ 中，$PH=\frac{1}{2}PN=2\sqrt{3}$，$NH=\sqrt{PN^{2}-PH^{2}}=6$，
$\therefore$ 点 $N(-3\sqrt{3},6)$，
由点 $N$，$Q$ 的坐标，得 $NQ=\sqrt{(\sqrt{3}+3\sqrt{3})^{2}+6^{2}}=2\sqrt{21}$。
故 $\triangle PCD$ 周长的最小值为 $2\sqrt{21}$。

15. (2025·锦江)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_1$：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}与x$轴、$y轴分别交于B$,$D$两点. 直线$l_2$：$y = kx + \frac{9}{4}与x轴交于点C$. 直线$l_1与直线l_2交于点A(a,3)$.
(1) 求点$A的坐标及直线l_2$的函数表达式.
(2) 若点$E在直线l_2$上,且$\triangle ADE的面积为\frac{5}{4}$,求点$E$的坐标.
(3) 在$x轴上是否存在点P$,使得$\angle ACB = 2\angle APC$,若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
【解】
(1) 将 $A(a,3)$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$ 中，得
$-\frac{1}{2}a+\frac{7}{2}=3$，解得 $a=1$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,3)$。
将点 $A(1,3)$ 代入 $y=kx+\frac{9}{4}$ 中，得
$3=k+\frac{9}{4}$，则 $k=\frac{3}{4}$，
则直线 $l_{2}$ 的函数表达式为 $y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$。
(2) 如图 1，当点 $E$ 在 $y$ 轴左侧时，

设直线 $l_{2}$ 和 $y$ 轴交于点 $H(0,\frac{9}{4})$，
设点 $E(m,\frac{3}{4}m+\frac{9}{4})$。
由函数的表达式知，点 $D(0,\frac{7}{2})$，则 $DH=\frac{5}{4}$，
$\therefore \triangle ADE$ 的面积 $=\frac{1}{2}DH\cdot (x_{A}-x_{E})=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×(1-m)=\frac{5}{4}$，解得 $m=-1$，
$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(-1,\frac{3}{2})$。
当点 $E(E')$ 在 $y$ 轴右侧时，则此时点 $E$，$E'$ 关于点 $A$ 对称，
由中点坐标公式，得点 $E'(3,\frac{9}{2})$。
综上所述，点 $E$ 的坐标为 $(-1,\frac{3}{2})$ 或 $(3,\frac{9}{2})$。
(3) 存在，由函数的表达式知，点 $C(-3,0)$。
当点 $P$ 在 $y$ 轴左侧时，如图 2，

$\because \angle ACB=2\angle APC$，
$\therefore \angle CPA=\angle CAP$，$\therefore PC=AC$。设点 $P(x,0)$，
由点 $A$，$P$，$C$ 的坐标，得 $AC=5$，$PC=-3-x=5$，
解得 $x=-8$，即点 $P(-8,0)$。
当点 $P(P')$ 在 $y$ 轴右侧时，
易知，点 $P'(10,0)$。
综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(-8,0)$ 或 $(10,0)$。