《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

14. (2024·高新)在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 的位置如图所示,已知点 $ A $ 的坐标是 $ (-4,3) $。
(1)点 $ B $ 的坐标为(____),点 $ C $ 的坐标为(____)；
(2)求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(3)作点 $ C $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ C' $,求 $ A,C' $ 两点之间的距离。

答案：
14.
(1)3, 0　 -2, 5
[解]
(1)点B的坐标为(3, 0)，点C的坐标为(-2, 5)。
(2)△ABC的面积是7×5 - $\frac{1}{2}$×3×7 - $\frac{1}{2}$×2×2 - $\frac{1}{2}$×5×5 = 35 - 10.5 - 2 - 12.5 = 10。
(3)作图如图所示。A，C两点之间的距离是$\sqrt{2^2 + 6^2}$ = $\sqrt{40}$ = 2$\sqrt{10}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

15. (2025·新津)如图,$ \text{Rt} \triangle OAB $ 在平面直角坐标系中,边 $ OA $ 在 $ x $ 轴上,$ \angle BAO = 90^\circ $,$ \angle BOA = 30^\circ $,点 $ B $ 的坐标为 $ (\sqrt{3},1) $,点 $ M $ 是射线 $ OB $ 上一动点。
(1)求线段 $ OB $ 的长。
(2)若 $ \triangle OAM $ 是等腰三角形,求点 $ M $ 的坐标。
(3)若 $ N $ 是 $ OA $ 上的动点,则 $ MA + MN $ 是否存在最小值？若存在,请求出这个最小值；若不存在,请说明理由。

答案：
15.[解]
(1)Rt△OAB在平面直角坐标系中，边OA在x轴上，∠BAO = 90°，点B的坐标为($\sqrt{3}$, 1)，
∴AB = 1，OA = $\sqrt{3}$，
由勾股定理，得OB = $\sqrt{OA^2 + AB^2}$ = 2。
(2)若△OAM是等腰三角形，分以下三种情况讨论：
如图1，当OM = MA时，
∵∠BOA = 30°，
∴∠MAO = 30°，∠OBA = 60°，
∴∠BMA = 60°，
∴△BMA是等边三角形，
∴MA = MB = OM，
∴点M为OB的中点。
又
∵B($\sqrt{3}$, 1)，
∴点M的坐标为($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$)；
当OM₁ = OA = $\sqrt{3}$时，作M₁E⊥OA，垂足为E。
∵∠BOA = 30°，
∴M₁E = $\frac{1}{2}$OM₁ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE = $\sqrt{OM₁^2 - M₁E^2}$ = $\frac{3}{2}$，
∴点M₁的坐标为($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)；
当AM₂ = OA = $\sqrt{3}$时，作M₂F⊥OA，垂足为F。
∴∠AM₂O = ∠BOA = 30°，
∴∠M₂AF = 60°，则∠AM₂F = 30°，
∴AF = $\frac{1}{2}$AM₂ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴M₂F = $\sqrt{AM₂^2 - AF^2}$ = $\frac{3}{2}$，
OF = OA + AF = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴点M₂的坐标为($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$)。
综上所述，点M的坐标为($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$)或($\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)或($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$)。
　　
(3)若N是OA上的动点，则MA + MN存在最小值。
如图2，作点A关于直线OB的对称点G，连接AG，OG，GM。
∴AG⊥OB，OG = OA = $\sqrt{3}$，∠GOB = ∠AOB = 30°，MA = MG，
∴∠AOG = 60°。
∵MN + MA = MG + MN，
∴当M，N，G三点共线，且NG⊥OA时，MG + MN最小，即MN + MA最小，最小值为NG的长，
此时∠OGN = 30°，
∴ON = $\frac{1}{2}$OG = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴NG = $\sqrt{OG^2 - ON^2}$ = $\frac{3}{2}$，
∴若N是OA上的动点，则MA + MN存在最小值，最小值为$\frac{3}{2}$。