《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

12. (2025·成华)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 6$,$AC= 9$,$AD\perp BC于点D$,$M为AD$上任一点,则$MC^{2}-MB^{2}$的值为____45。

答案： 45

13. (2025·成华)在$\triangle ABC$中,$AB= 13$,$AC= 15$,高$AD= 12$,则$BC$的长为14或4。

答案： 14或4

14. (2025·青羊)如图,在四边形$ABCD$中,$BE= AD$,$\angle ABD= \angle ECB$,$AD// EC$。
(1)求证：$AB= EC$；
(2)若$BD\perp CE$,$BE= 6$,$BC= 8$,求四边形$BCDE$的面积。

答案：
(1)【证明】$\because AD// EC$，
$\therefore \angle A = \angle BEC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ECB$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle A = \angle BEC,\\\angle ABD = \angle ECB,\\AD = BE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong\triangle ECB(AAS)$，
$\therefore AB = EC$。
(2)【解】$\because BD\perp CE$，$AD// EC$，
$\therefore AD\perp BD$，即$\angle ADB = 90^{\circ}$。
由
(1)知，$\triangle ABD\cong\triangle ECB$，
$\therefore \angle EBC = \angle ADB = 90^{\circ}$。
$\because BE = 6$，$BC = 8$，
$\therefore EC^{2}=BE^{2}+BC^{2}=100$，$\therefore EC = 10$。
由
(1)知，$\triangle ABD\cong\triangle ECB$，
$\therefore BD = BC = 8$。
又$\because BD\perp CE$，
$\therefore S_{四边形BCDE}=\frac{1}{2}BD\cdot EC=\frac{1}{2}×8×10 = 40$。

15. (2025·龙泉驿)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10$,$BC= 16$,点$D是BC$的中点,点$E是线段BD$上的动点,过点$E作EF\perp BD交AB于点F$,连接$AE$,$\angle AEF= \angle B$。
(1)求证：$AE\perp AC$；
(2)求$DE$的长。

答案：
(1)【证明】$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle C$。
$\because EF\perp BD$，$\therefore \angle AEF+\angle AED = 90^{\circ}$。
$\because \angle AEF = \angle B$，$\angle B = \angle C$，$\therefore \angle AEF = \angle C$，
$\therefore \angle C+\angle AED = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAC = 90^{\circ}$，$\therefore AE\perp AC$。
(2)【解】$\because \angle EAC = 90^{\circ}$，
$\therefore AE^{2}+AC^{2}=CE^{2}$，
$\because$点$D$是$BC$的中点，$BC = 16$，
$\therefore BD = CD = 8$。
$\because CE = CD + DE = DE + 8$，
$\therefore AE^{2}=CE^{2}-AC^{2}=(DE + 8)^{2}-10^{2}$。
$\because AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD\perp BC$，
$\therefore AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}=10^{2}-8^{2}=36$，$\therefore AD = 6$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=6^{2}+DE^{2}$，
$\therefore (DE + 8)^{2}-10^{2}=6^{2}+DE^{2}$，
解得$DE = 4.5$。