《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2025·武侯)如图,在平面直角坐标系中,$A(0,a)$,$B(b,0)$,$OC = OA$,且$a$,$b满足|a - 8|+\sqrt{b + 6}= 0$.
(1)求线段$AB$的长;
(2)现有一动点$P从点B$出发,以$1$个单位长度/秒的速度沿$x轴正方向运动到点C$停止,设$P的运动时间为t$秒,连接$AP$,过点$C作AP的垂线交射线AP于点M$,交$y轴于点N$,请用含$t的式子表示线段ON$的长度;
(3)当点$P在线段BO$上时,在(2)的条件下,连接$BM$,当$S_{\triangle ABM}:S_{\triangle ACM}= 3:7$时,求此时点$P$的坐标.

答案：
【解】
(1)
∵$|a - 8| + \sqrt{b + 6} = 0$，
∴$a - 8 = 0$，$b + 6 = 0$，
∴$a = 8$，$b = -6$，
∴$A(0,8)$，$B(-6,0)$，
∴$OA = 8$，$OB = 6$，
∴$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。
(2)由
(1)知，$A(0,8)$，$B(-6,0)$，
∴$OB = 6$，$OA = 8$。
∵$OC = OA$，
∴$OC = 8$，
∴$C(8,0)$。
①当点P在x轴非正半轴上，即$0 ≤ t ≤ 6$时，如图1，
由运动知，$BP = t$，
∴$OP = 6 - t$。

∵$CM⊥AP$，
∴$∠CMA = 90^{\circ} = ∠AOP = ∠AOC$。
∵$∠ANM = ∠CNO$，
∴$∠OAP = ∠OCN$。
又
∵$OA = OC$，
∴$\triangle AOP ≌ \triangle CON(ASA)$，
∴$ON = OP = 6 - t$；
②当点P在x轴正半轴上，即$6 ＜ t ≤ 14$时，如图2。

由运动知，$BP = t$，
∴$OP = t - 6$，
同①的方法，得$\triangle AOP ≌ \triangle CON(ASA)$，
∴$ON = OP = t - 6$。
综上所述，ON的长度为$6 - t$或$t - 6$。
(3)如图3，过点B作$BH⊥AP$于点H，
则$S_{\triangle ABM} = \dfrac{1}{2}AM·BH$，$S_{\triangle ACM} = \dfrac{1}{2}AM·CM$。

∵$S_{\triangle ABM} : S_{\triangle ACM} = 3 : 7$，
∴$\dfrac{\dfrac{1}{2}AM·BH}{\dfrac{1}{2}AM·CM} = \dfrac{3}{7}$，
∴$\dfrac{BH}{CM} = \dfrac{3}{7}$。
∵$S_{\triangle ABP} = \dfrac{1}{2}AP·BH$，$S_{\triangle ACP} = \dfrac{1}{2}AP·CM$，
∴$S_{\triangle ABP} : S_{\triangle ACP} = 3 : 7$。
∵$S_{\triangle ABP} = \dfrac{1}{2}BP·OA$，$S_{\triangle ACP} = \dfrac{1}{2}CP·OA$，
∴$BP : CP = 3 : 7$，
∴$BP : BC = 3 : 10$。
∵$B(-6,0)$，$C(8,0)$，
∴$BC = 14$，
∴$BP = 4.2$，
∴$OP = 6 - 4.2 = 1.8$，
∴点P的坐标为$(-1.8,0)$。