《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

9. (1)(2025·编写)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D$,$BD = 9$,$AD = 12$,$AC = 20$,求证：$\triangle ABC$是直角三角形.

(2)(2025·青羊)如图,学校有一块三角形空地$ABC$,计划将这块三角形空地分割成四边形$ABDE和三角形EDC$,分别摆放两种不同的花卉. 经测量,$\angle EDC = 90^{\circ}$,$DC = 6$,$DE = 8$,$BD = 14$,$AB = 16$,$AE = 2$,求四边形$ABDE$的面积.

答案：
(1)[证明]
∵$AD \perp BC$，
∴$\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$。
在 $ \text{Rt} \triangle ABD $ 中，$ AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}=9^{2}+12^{2}=225 $，
在 $ \text{Rt} \triangle ADC $ 中，$ CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=20^{2}-12^{2}=256 $，
∴$CD=16$，
∴$BC=BD+CD=9+16=25$，
∴$BC^{2}=625$，
∴$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
∴$\triangle ABC$ 为直角三角形。
(2)[解]
∵$\angle EDC=90^{\circ}$，$ DC=6 $，$ DE=8 $，
∴$CE^{2}=DC^{2}+DE^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，
∴$CE=10$，
∴$AC=AE+CE=2+10=12$。
∵$BD=14$，$ CD=6 $，
∴$BC=BD+CD=20$。
∵$AB=16$，
∴$AB^{2}+AC^{2}=16^{2}+12^{2}=20^{2}=BC^{2}$，
∴$\triangle ABC$ 是直角三角形，且 $ \angle BAC=90^{\circ} $，
∴$S_{\text{四边形}ABDE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle DEC}=\frac{1}{2}AB \cdot AC-\frac{1}{2}CD \cdot DE=\frac{1}{2} × 16 × 12-\frac{1}{2} × 6 × 8=72 $。

10. (1)(2025·编写)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 10$,高$BD = 8$,$AD = 6$,$AE平分\angle BAC$,过点$E作EF\perp AB于点F$,求$\triangle ABE$的面积.

(2)(2025·锦江)如图,在$\triangle ABC$中,已知$AB = 13$,$AC = 5$,$\triangle ABC的周长为30$.
①证明：$\triangle ABC$是直角三角形.
②过点$C作CD\perp AB于点D$,点$E为AB$边上的一点,且$CE = BE$,过点$E作EF\perp AB交\angle ACB的平分线于点F$.
ⅰ. 证明：$\angle DCF= \angle ECF$；
ⅱ. 求线段$EF$的长.

答案：
(1)[解]
∵$AE$ 平分 $ \angle BAC $，$ EF \perp AB $，$ ED \perp AC $，
∴$EF=DE$，$\angle ADE=\angle AFE=90^{\circ}$。
在 $ \text{Rt} \triangle AEF $ 和 $ \text{Rt} \triangle AED $ 中，
$\begin{cases} AE=AE, \\ EF=DE, \end{cases}$
∴$\text{Rt} \triangle AEF \cong \text{Rt} \triangle AED(\text{HL})$，
∴$AF=AD=6$，
∴$BF=AB - AF=10 - 6=4$。
设 $ EF=DE=x $，则 $ BE=8 - x $，
在 $ \text{Rt} \triangle BEF $ 中，由勾股定理得
$ x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2} $，解得 $ x=3 $，
∴$EF=3$，
∴$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2} × 10 × 3=15 $。
(2)①[证明]
∵$AB=13$，$ AC=5 $，$\triangle ABC$ 的周长为 30，
∴$BC=30 - 13 - 5=12$。
∵$AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$ AB^{2}=13^{2}=169 $，
∴$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$\triangle ABC$ 是直角三角形。
②i.[证明]
∵$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$\angle ACB=90^{\circ}$。
∵$CD \perp AB$ 于点 $ D $，
∴$\angle ADC=90^{\circ}$，
∴$\angle ACD=\angle B=90^{\circ}-\angle A$。
∵$CE=BE$，
∴$\angle BCE=\angle B$，
∴$\angle ACD=\angle BCE$。
∵$CF$ 是 $ \angle ACB $ 的平分线，
∴$\angle ACF=\angle BCF$，
∴$\angle ACF - \angle ACD=\angle BCF - \angle BCE$，
∴$\angle DCF=\angle ECF$。
ii.[解]
∵$\angle ACE+\angle BCE=90^{\circ}$，$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，且 $ \angle BCE=\angle B $，
∴$\angle ACE=\angle A$，
∴$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}$。
∵$CD \perp AB$，$ EF \perp AB $，
∴$CD // EF$，
∴$\angle DCF=\angle F$。
又
∵$\angle DCF=\angle ECF$，
∴$\angle F=\angle ECF$，
∴$EF=CE=\frac{13}{2}$，
∴线段 $ EF $ 的长为 $ \frac{13}{2} $。