《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (1)(2025·双流)计算：$(\sqrt {6}-\sqrt {2})(1+\sqrt {3})-6\sqrt {\frac {1}{2}}$；
(2)(2025·青羊)计算：$\sqrt {48}-2\sqrt {\frac {1}{3}}-\sqrt {6}×\sqrt {\frac {9}{2}}$。

答案：
(1)[解]原式$=\sqrt{6}+\sqrt{18}-\sqrt{2}-\sqrt{6}-3\sqrt{2}=\sqrt{6}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{6}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$
(2)[解]原式$=4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}-\sqrt{6×\frac{9}{2}}=4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

11. (1)(2024·龙泉驿)已知$a= \sqrt {5}+\sqrt {3},b= \sqrt {5}-\sqrt {3}$,则$(a+b)^{2}$等于20。
(2)(2025·编写)若二次根式$\sqrt {3a+5}$是最简二次根式,则最小的正整数$a=$2。

答案：
(1)20
(2)2

12. (2025·编写)若实数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示,则化简$\sqrt {(a+c)^{2}}-|b-c|= $$-a - b$。

答案： $-a - b$

13. (2025·编写)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC,AE⊥BC于点E,AB= 10,BE= 8,DE= 6\sqrt {3}$,则$AD$的长是____$6\sqrt{2}$。

答案： $6\sqrt{2}$

14. (1)(2025·编写)若$x,y$为实数,且$y= \frac {\sqrt {x^{2}-4}+\sqrt {4-x^{2}}+1}{x+2}$,求$\sqrt {x+y}\cdot \sqrt {x-y}$的值。
(2)(2025·编写)已知$ab= 2$,求$a\sqrt {\frac {b}{a}}+b\sqrt {\frac {a}{b}}$的值。

答案：
(1)[解]$\because\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4\geq0\\4-x^{2}\geq0\\x + 2\neq0\end{array}\right.$，$\therefore x = 2$，$\therefore y=\frac{1}{4}$，$\therefore\sqrt{x + y}\cdot\sqrt{x - y}=\sqrt{\frac{9}{4}}×\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$
(2)[解]当$a＞0$，$b＞0$时，原式$=\sqrt{ab}+\sqrt{ab}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；当$a＜0$，$b＜0$时，原式$=-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=-2\sqrt{2}$

15. (2025·编写)如图,在$Rt△ABC$中,已知$∠ACB= 90^{\circ },∠BAC= 30^{\circ }$,延长$BC至点D$,使$CD= BC$,连接$AD$,若$E为线段CD$的中点,且$AD= 4$,$P为线段AC$上一动点,连接$EP,BP$。
(1)求$EP+\frac {1}{2}AP$的最小值；
(2)求$2BP+AP$的最小值。

答案：
[解]如图1，作$PF\perp AB$于点$F$，$EH\perp AB$于点$H$，$\because CD = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore AD = AB$。$\because\angle BAC = 30^{\circ}$，$\therefore PF=\frac{1}{2}AP$，$\therefore EP+\frac{1}{2}AP$的最小值为$EH$。$\because\angle ABC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，$\therefore\triangle ABD$是等边三角形，$\therefore AD = BD = 4$，$\therefore BE = 3$，$\therefore BH=\frac{1}{2}BE=\frac{3}{2}$，$\therefore EH=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\therefore EP+\frac{1}{2}AP$的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

(2)$2BP + AP = 2(BP+\frac{1}{2}AP)$，如图2，作$PM\perp AD$于点$M$，$BG\perp AD$于点$G$，则$BP+\frac{1}{2}AP$的最小值为$BG = 2\sqrt{3}$，$\therefore 2BP + AP = 2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$\therefore 2BP + AP$的最小值为$4\sqrt{3}$。