《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

6. (2025·编写) 如图,在 $ \triangle ABD $ 中,$ \angle D = 90^\circ $,$ C $ 是 $ BD $ 上的一点,已知 $ CB = 9 $,$ AB = 17 $,$ AD = 8 $,则 $ DC $ 的长是(C)

A.8
B.9
C.6
D.15

答案： C

7. (2025·编写) 下列选项中,不能判定 $ \triangle ABC $ 是直角三角形的是(B)
$A.∠A=90°-∠C$

$B.三个内角的度数之比是3:4:5$
$C.∠A=\frac {1}{2}∠B=\frac {1}{3}∠C$
$D.三角形的三条边之比是5:12:13$

答案： B

8. (2025·编写) 如图,$ \triangle ABC $ 在每个小正方形边长都为 1 的网格图中,顶点都在格点上,下列结论不正确的是(D)

A.$ BC = 5 $
B.$ \triangle ABC $ 的面积为 5
C.$ \angle A = 90^\circ $
D.点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离为 $ \frac{5}{2} $

答案： D

9. (1) (2025·编写) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BC $ 的垂直平分线 $ DE $ 分别交 $ AB $,$ BC $ 于点 $ D $,$ E $,且 $ BD^2 - DA^2 = AC^2 $.
① 求证：$ \angle A = 90^\circ $；
② 若 $ AB = 8 $,$ AD:BD = 3:5 $,求 $ AC $ 的长.

(2) (2024·南京)
① 如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 13 $,$ AD = 5 $,$ CD = 12 $,$ BC = 20 $,求 $ \triangle ABC $ 的面积；
② 如图 2,在 $ \triangle EFG $ 中,$ EF = 13 $,$ EG = 20 $,$ FG = 11 $,求 $ \triangle EFG $ 的面积.

答案：

(1)①[证明]如图，连接CD.

∵BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D，E，
∴CD=DB.
∵$BD ^ { 2 } - DA ^ { 2 } = AC ^ { 2 }$，
∴$CD ^ { 2 } - DA ^ { 2 } = AC ^ { 2 }$，
∴$CD ^ { 2 } = AD ^ { 2 } + AC ^ { 2 }$，
∴△ACD是直角三角形，且$∠ A = 90 ^ { \circ }$.
②[解]
∵AB=8，AD:BD=3:5，
∴AD=3，BD=5，
∴DC=5，
∴$AC ^ { 2 } = CD ^ { 2 } - AD ^ { 2 } = 25 - 9 = 16$，
∴AC=4.
(2)[解]①
∵AC=13，AD=5，CD=12，
∴$CD ^ { 2 } + AD ^ { 2 } = 12 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } = 169$，$AC ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } = 169$，
∴$CD ^ { 2 } + AD ^ { 2 } = AC ^ { 2 }$，
∴△ACD是直角三角形，且$∠ ADC = 90 ^ { \circ }$，
∴$∠ BDC = 90 ^ { \circ }$.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得
$BD ^ { 2 } = BC ^ { 2 } - CD ^ { 2 } = 20 ^ { 2 } - 12 ^ { 2 } = 256$，
∴BD=16，
∴AB=AD+BD=5+16=21，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}×21×12 = 126$.
②如图，过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M.设FM=x，则GM=11+x.
在Rt△FEM和Rt△GEM中，由勾股定理，得$EM ^ { 2 } = EF ^ { 2 } - FM ^ { 2 }$，$EM ^ { 2 } = EG ^ { 2 } - GM ^ { 2 }$，
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$EF ^ { 2 } - FM ^ { 2 } = EG ^ { 2 } - GM ^ { 2 }$，
∴$13 ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 20 ^ { 2 } - ( 11 + x ) ^ { 2 }$，
解得x=5，即FM=5，
∴$EM ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } = 144$，
∴EM=12，
∴$S_{\triangle EFG}=\frac{1}{2}FG\cdot EM=\frac{1}{2}×11×12 = 66$.