《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

15. (2025·温江)如图,已知一次函数$y = \frac{1}{2}x + 4的图象与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,点$C与点A关于y$轴对称.
(1)求直线$BC$的函数表达式;
(2)设点$M(m,0)$是一个动点,且$m \neq 0$,过点$M作y轴的平行线交直线AB于点P$,交直线$BC于点Q$,若$S_{\triangle PQB} = 2S_{\triangle AMP}$,求$m$的值.

答案：
[解]
(1)在$y = \frac{1}{2}x + 4$中，令$x = 0$得$y = 4$，令$y = 0$得$x = - 8$，所以$A(- 8,0)$，$B(0,4)$.
因为点$C$与点$A$关于$y$轴对称，所以$C(8,0)$.
设直线$BC$的表达式为$y = kx + b$.
把$B(0,4)$，$C(8,0)$代入，得$\begin{cases}b = 4\\8k + b = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = 4\end{cases}$，所以直线$BC$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 4$.
(2)①如图:

根据题意，得$P(m,\frac{1}{2}m + 4)$，$Q(m,-\frac{1}{2}m + 4)$，
所以$PQ = \left|\frac{1}{2}m + 4 - (-\frac{1}{2}m + 4)\right| = |m|$.
因为$S_{\triangle PQB} = 2S_{\triangle AMP}$，
所以$\frac{1}{2}|m|\cdot|m| = 2×\frac{1}{2}|m - (- 8)|\cdot\left|\frac{1}{2}m + 4\right|$，
所以$\frac{1}{2}m^{2} = \frac{1}{2}m^{2} + 8m + 32$或$\frac{1}{2}m^{2} = -\frac{1}{2}m^{2} - 8m - 32$，解得$m = - 4$.