《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

8. (2024·高新)如图,在$\triangle ABC$中,$AB\perp AC$,$AB= 5cm$,$BC= 13cm$,$BD是AC$边上的中线,则$\triangle BCD$的面积是(A)

A.$15cm^{2}$
B.$30cm^{2}$
C.$60cm^{2}$
D.$65cm^{2}$

答案： A

9. (1)(2025·编写)如图,已知$CD是\triangle ABC中AB$边上的高,$AC= 10$,$CD= 8$,$BC= 3AD$,求$BC$的长。

(2)(2025·编写)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,$DE// AB交AC于点E$。已知$CE= 3$,$CD= 4$,求$AD^{2}$的值。

答案：
(1)【解】$\because CD$是$\triangle ABC$中$AB$边上的高，$\therefore CD\perp AB$，$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，$\therefore AD = 6$，
$\therefore BC = 3AD = 18$，$\therefore BC$的长为18。
(2)【解】在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CE = 3$，$CD = 4$，
由勾股定理，得$DE^{2}=CD^{2}+CE^{2}=4^{2}+3^{2}$，$\therefore DE = 5$。
$\because DE// AB$，$\therefore \angle BAD = \angle ADE$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD = \angle CAD$，
$\therefore \angle CAD = \angle ADE$，$\therefore AE = DE = 5$，
$\therefore AC = AE + EC = 8$，
$\therefore AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}=8^{2}+4^{2}=80$。

10. (1)(2025·编写)如图,在四边形$ABCD$中,$AB^{2}= BC^{2}= 8$,$AD= 2$,$\angle B= \angle D= 90^{\circ}$,求$CD^{2}$的值。

(2)(2024·武侯)如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$AB= 15$,$AD= 12$,$BC= 14$,求$AC$的长。

答案：
(1)【解】在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB^{2}=BC^{2}=8$，
则由勾股定理得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=8 + 8 = 16$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle D = 90^{\circ}$，$AD = 2$，则由勾股定理得$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=16 - 2^{2}=12$。
(2)【解】$\because AD\perp BC$，$\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=15^{2}-12^{2}$，$\therefore BD = 9$。
$\because BC = 14$，$\therefore CD = BC - BD = 14 - 9 = 5$，
$\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=169$，
$\therefore AC = 13$，即$AC$的长为13。

11. (2025·青羊)如图,已知长方形$ABCD沿着直线BD$折叠,使点$C落在C'$处,$BC'交AD于点E$,$AD= 8$,$AB= 4$,则$DE$的长为5。

答案： 5