《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

13. (2025·编写)如图,在$5×5$的正方形网格中,以$AB为边画直角\triangle ABC$,使点$C$在格点上,且另外两条边的长均为无理数,则满足这样条件的点$C$共有4个.

答案： 4

14. (2025·编写)如图是由$16个边长为1$的小正方形拼成的,任意连接这些小正方形的若干个顶点可得到图中的五条线段,试找出其中两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段,你能分别估算出不是有理数的三条线段的长度在哪两个整数之间吗？

答案： [解]$AB = 2$，AB的长是有理数.
$EF = 5$，EF的长是有理数.
根据勾股定理，得
$AC^{2}=1^{2}+1^{2}=2$，
$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}=2^{2}+3^{2}=13$，
$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
所以AC，AD，AE的长既不是整数，也不是分数，所以它们都不是有理数.
因为$1 ＜ AC^{2}＜4$，$9 ＜ AD^{2}＜16$，$4 ＜ AE^{2}＜9$，
所以$1 ＜ AC ＜ 2$，$3 ＜ AD ＜ 4$，$2 ＜ AE ＜ 3$.

15. (2025·编写)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5$,$BC= 8$,$P是BC$边上的动点,过点$P分别作PD⊥AB于点D$,$PE⊥AC于点E$,求$PD+PE$的长,并判定$PD+PE$的长是不是有理数.

答案：
[解]如图，过点A作$AF⊥BC$于点F，连接AP.
∵在$△ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 8$，
∴$BF = 4$，
∴在$△ABF$中，$AF^{2}=AB^{2}-BF^{2}=5^{2}-4^{2}=9$，
∴$AF = 3$，
∴$\frac{1}{2}×8×3=\frac{1}{2}×5×PD+\frac{1}{2}×5×PE$，
$12=\frac{1}{2}×5×(PD + PE)$，$PD + PE = 4.8$.
4.8是有理数.