《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

14. (2024·青羊)为抗击病毒,某公司加紧生产酒精消毒液与额温枪两种抗疫物资,这两种物资的生产成本和销售单价如下表所示：
|种类|生产成本(元/件)|销售单价(元/件)|
|酒精消毒液|56|62|
|额温枪|84|100|
(1)若该公司2023年12月生产两种物资共100万件,生产总成本为7280万元,请用列二元一次方程组的方法,求该月酒精消毒液和额温枪两种物资各生产了多少万件.
(2)该公司2024年1月生产两种物资共150万件,根据市场需求,该月将举办迎新年促销活动,其中酒精消毒液的销售单价降低2元,额温枪打9折销售. 若设该月生产酒精消毒液$x$万件,该月销售完这两种物资的总利润为$y$万元,求$y与x$之间的函数关系式.

答案： [解]
(1)设该月酒精消毒液生产了$a$万件，额温枪生产了$b$万件。依题意，得$\left\{\begin{array}{l} a+b=100,\\ 56a+84b=7280,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=40,\\ b=60.\end{array}\right. $答：该月酒精消毒液生产了40万件，额温枪生产了60万件。
(2)设该月生产酒精消毒液$x$万件，该月销售完这两种物资的总利润为$y$万元，则该月生产额温枪$(150 - x)$万件。依题意，得$y=(62 - 56 - 2)x+(100×0.9 - 84)×(150 - x)= - 2x + 900$。答：$y$与$x$之间的函数关系式为$y = - 2x + 900$。

15. (2025·编写)$A市决定向对口帮扶的贫困县B$县购买甲、乙两种农产品,用于展销推广. 现已知：若购买$30kg甲产品和25kg$乙产品共需支付700元；若购买$20kg甲产品和10kg$乙产品共需支付400元.
(1)甲、乙两种农产品的价格为多少?
(2)$A市的一次农产品展销会准备从B$县购进甲、乙两种农产品共$1200kg$,并规定购进甲产品的数量不得少于$100kg$,且不得多于乙产品数量的一半. 展销会上甲、乙两种农产品以(1)小问中的价格出售给市民,并全部售完. 主办方决定,除去2000元的运输成本后,将这次甲、乙两种农产品总销售额的10%捐助给$B$县某学校购买图书. 请你运用一次函数的知识,计算如何安排采购方案,才能使向$B$县某学校的捐款最多? 并求出捐款额的最大值.

答案： [解]
(1)设甲、乙两种农产品的价格分别为每千克$a$元、$b$元。依题意，得$\left\{\begin{array}{l} 30a + 25b = 700,\\ 20a + 10b = 400,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a = 15,\\ b = 10.\end{array}\right. $答：甲、乙两种农产品的价格分别为每千克15元、10元。
(2)设购进甲种农产品$x$千克，则购进乙种农产品$(1200 - x)$千克，销售额为$y$元。由题意可得$y = 15x + 10(1200 - x)=5x + 12000$，$\therefore y$随$x$的增大而增大。
∵规定购进甲种农产品的数量不得少于$100kg$，且不得多于乙种农产品数量的一半，$\therefore 100\leq x\leq\frac{1}{2}(1200 - x)$，解得$100\leq x\leq400$，$\therefore x = 400$时，$y$取得最大值，此时$y = 14000$，$1200 - x = 800$，$(14000 - 2000)×10\% = 12000×10\% = 1200$(元)。
答：购进甲种农产品400千克，乙种农产品800千克时，才能使向$B$县某学校的捐款最多，捐款额的最大值是1200元。