《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (1) (2025·编写) 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ABC = 90^\circ $,$ CD \perp AD $,$ AD^2 + CD^2 = 2AB^2 $. 求证：$ AB = BC $.

(2) (2025·编写) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,点 $ E $ 在 $ AC $ 边上,且 $ \angle CBE = 45^\circ $,$ BE $ 分别交 $ AC $,$ AD $ 于点 $ E $,$ F $.
① 如图 1,若 $ AB = 13 $,$ BC = 10 $,求 $ AF $ 的长；
② 如图 2,若 $ AF = BC $,求证：$ BF^2 + EF^2 = AE^2 $.

答案：

(1)[证明]连接AC(图略).
∵$∠ ABC = 90 ^ { \circ }$，
∴$AB ^ { 2 } + BC ^ { 2 } = AC ^ { 2 }$.
∵CD⊥AD，
∴$∠ ADC = 90 ^ { \circ }$，
∴$AD ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = AC ^ { 2 }$.
∵$AD ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = 2AB ^ { 2 }$，
∴$AC ^ { 2 } = 2AB ^ { 2 }$，
∴$AB ^ { 2 } + BC ^ { 2 } = 2AB ^ { 2 }$，
∴$AB ^ { 2 } = BC ^ { 2 }$，
∴AB=BC.
(2)①[解]
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD.
∵BC=10，
∴BD=5.
在Rt△ABD中，
∵AB=13，
∴$AD ^ { 2 } = AB ^ { 2 } - BD ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } - 5 ^ { 2 } = 144$，
∴AD=12.
在Rt△BDF中，
∵$∠ CBE = 45 ^ { \circ }$，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD - DF=12 - 5=7.
②[证明]如图，在BF上取一点H，使BH=EF，连接CF，CH.
由
(1)可得，$∠ DFB = 45 ^ { \circ }$，
∴$∠ AFE = ∠ DFB = 45 ^ { \circ }$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△CHB和△AEF中，$\begin{cases}BH = EF\\∠ CBH = ∠ AFE\\BC = AF\end{cases}$
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴CH=AE，$∠ BHC = ∠ AEF$，
∴$∠ CEF = ∠ CHE$，
∴CE=CH.
∵BD=CD，FD⊥BC，
∴CF=BF，
∴$∠ CFD = ∠ BFD = 45 ^ { \circ }$，
∴$∠ CFB = 90 ^ { \circ }$，
∴EF=FH.
在Rt△CFH中，由勾股定理，得$CF ^ { 2 } + FH ^ { 2 } = CH ^ { 2 }$，
∴$BF ^ { 2 } + EF ^ { 2 } = AE ^ { 2 }$.

11. (1) (2025·编写) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ O $ 是 $ \angle ABC $,$ \angle ACB $ 平分线的交点,且 $ AB = 13 $,$ BC = 15 $,$ AC = 14 $,则点 $ O $ 到边 $ AB $ 的距离为______4.
(2) (2025·编写) 如图,一只螳螂在一圆柱形松树树干的 $ A $ 点处,发现它的正上方 $ B $ 点处有一只小虫子,螳螂想捕到这只虫子,但又怕被发现,于是准备按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它. 已知树干的周长为 $ 40 \mathrm{cm} $,$ A $,$ B $ 两点间的距离为 $ 30 \mathrm{cm} $. 若螳螂想吃掉 $ B $ 点处的小虫子,螳螂绕行的最短路程为______50cm.

答案：
(1)4
(2)50cm

12. (2024·青羊) 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 2 $,$ AC^2 = 2 $,$ \angle B = 30^\circ $,则 $ \angle BAC $ 的度数是$15 ^ { \circ }$或$105 ^ { \circ }$.

答案： $15 ^ { \circ }$或$105 ^ { \circ }$

13. (2025·编写) 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^\circ $,$ AB = 5 $,$ AC = \frac{20}{3} $,$ D $,$ E $ 分别为射线 $ BC $ 与射线 $ AC $ 上的两动点,且 $ BD = AE $,连接 $ AD $,$ BE $,则 $ (AD + BE)^2 $ 的最小值为______90.

答案： 90

14. (2024·双流) 葛藤是一种刁钻的植物. 它自己腰托不硬,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是绕树盘旋上升的路段,总是沿着最短路线盘旋前进的,难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1) 如图,若树干的周长(即底面圆的周长)为 $ 30 \mathrm{cm} $,从点 $ A $ 绕一圈到点 $ B $,葛藤升高 $ 40 \mathrm{cm} $,则它爬行的路程是多少厘米？
(2) 若树干的周长(即底面圆的周长)为 $ 40 \mathrm{cm} $,绕一圈爬行 $ 50 \mathrm{cm} $,则爬行一圈升高多少厘米？若爬行 10 圈到达树顶,则树干高多少厘米？

答案： [解]
(1)若树干的周长为30cm，绕一圈升高40cm，则路程的平方$ = 30 ^ { 2 } + 40 ^ { 2 } = 2500 = 50 ^ { 2 }$，即葛藤绕树爬行的最短路程为50cm.
(2)若树干的周长为40cm，绕一圈爬行50cm，则高度$ ^ { 2 } = 50 ^ { 2 } - 40 ^ { 2 } = 900 = 30 ^ { 2 }$，即爬行一圈升高30厘米.若爬行10圈到达树顶，则树干高为$10 × 30 = 300 (cm)$.