《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

6. (2025·编写) 如图, 在平面直角坐标系中, $ P $ 为 $ x $ 轴上的一点, 且到点 $ A(0,2) $ 和点 $ B(5,5) $ 的距离相等, 则线段 $ OP $ 的长度为 (C)

A.3
B.4
C.4.6
D.$ 2\sqrt{5} $

答案： 6. C

7. (2025·编写) 已知点 $ A $ 的坐标为 $ (3,a + 3) $, 点 $ B $ 的坐标为 $ (a,a - 4) $, $ AB // y $ 轴, 则线段 $ AB $ 的长为 (C)
A.5
B.6
C.7
D.13

答案： 7. C

8. (2025·编写) 已知点 $ A(2,5) $ 和点 $ B(2,-1) $, 那么线段 $ AB $ 的中点的坐标是 (B)
A.(2,3)
B.(2,2)
C.(2,1)
D.(1,2)

答案： 8. B

9. (1) (2025·编写) 如图, $ △ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(0,2) $, $ B(4,0) $, $ C(6,4) $, 求 $ △ABC $ 的周长与面积。

(2) (2025·编写) 如图, $ A(3,2) $, $ B(5,0) $, $ C $ 是线段 $ AB $ 的中点。
① 求点 $ C $ 的坐标；
② 求 $ △AOC $ 的面积。

答案：
9.
(1)[解]
∵$A(0,2),B(4,0),C(6,4)$，
∴$AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(6 - 4)^{2}+(4 - 0)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(6 - 0)^{2}+(4 - 2)^{2}}=2\sqrt{10}$，
∴△ABC的周长=$AB + BC + AC = 2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{10}=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$。
∵$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC = 90°，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}× 2\sqrt{5}× 2\sqrt{5}=10$。
(2)[解]①
∵$A(3,2),B(5,0)$，根据中点坐标公式知，$\begin{cases}x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{3 + 5}{2}=4 \\ y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2 + 0}{2}=1\end{cases}$，
∴$C(4,1)$。
②如图，过点$C$作$CD\perp OB$于点$D$，过点$A$作$AE\perp OB$于点$E$。
∵$A(3,2),B(5,0),C(4,1)$，

∴$AE = 2,CD = 1,OB = 5$，
∴$S_{\triangle AOC}=S_{\triangle ABO}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OB\cdot AE-\frac{1}{2}OB\cdot CD=\frac{1}{2}× 5× 2-\frac{1}{2}× 5× 1=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$。

10. (2025·编写)
(1) 若点 $ A(-2,3) $, $ B(1,-3) $, 求 $ A $, $ B $ 两点间的距离；
(2) 已知点 $ A(-2,3) $, 点 $ B $ 在 $ x $ 轴上, 且 $ A $, $ B $ 两点间的距离是 5, 求 $ B $ 点的坐标；
(3) 若点 $ A(x,3) $, $ B(3,x + 1) $, 且 $ A $, $ B $ 两点间的距离是 5, 求 $ x $ 的值。

答案： 10. [解]
(1)
∵点$A(-2,3),B(1,-3)$，
∴$AB=\sqrt{(-2 - 1)^{2}+(3 + 3)^{2}}=3\sqrt{5}$。
(2)设$B(t,0)$，而点$A(-2,3)$，$A,B$两点间的距离是$5$，
∴$(-2 - t)^{2}+(0 - 3)^{2}=5^{2}$，解得$t = 2$或$t = -6$，此时$B$点的坐标为$(2,0)$或$(-6,0)$。
(3)
∵点$A(x,3),B(3,x + 1)$，且$A,B$两点间的距离是$5$，
∴$(x - 3)^{2}+(3 - x - 1)^{2}=5^{2}$，整理得$x^{2}-5x - 6 = 0$，解得$x_{1}=-1,x_{2}=6$，即$x$的值为$-1$或$6$。

11. (1) 若线段 $ AB // x $ 轴且 $ AB = 3 $, 点 $ A $ 的坐标为 $ (2,1) $, 则点 $ B $ 的坐标为 $(5,1)$或$(-1,1)$。
(2) 如图, 将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中, 若顶点 $ M $, $ N $ 的坐标分别为 $ (3,9) $, $ (12,9) $, 则顶点 $ A $ 的坐标为 $(15,3)$, $ AM = $ $6\sqrt{5}$。

答案： 11.
(1)$(5,1)$或$(-1,1)$
(2)$(15,3)$ $6\sqrt{5}$