《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (2025·编写)已知 $ \triangle A B C $ 的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,且 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ \sqrt { a - 5 } + | b - 8 | + c ^ { 2 } + 25 = 10 c $,试判断 $ \triangle A B C $ 的形状,并求 $ \triangle A B C $ 的面积.

答案： 【解】因为$ \sqrt{a - 5} + |b - 8| + c^2 + 25 = 10c $，
所以$ \sqrt{a - 5} + |b - 8| + (c - 5)^2 = 0 $，
所以$ a = 5 $，$ b = 8 $，$ c = 5 $，
所以$ \triangle ABC $是等腰三角形，且$ AB = BC = 5 $，$ AC = 8 $.
作AC边上的高BD，易得$ AD = CD = 4 $.
在$ \triangle ABD $中，$ \angle ADB = 90^\circ $，$ AB = 5 $，$ AD = 4 $，
由勾股定理，得$ BD = 3 $，所以$ \triangle ABC $的面积是$ \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 $. 故$ \triangle ABC $是等腰三角形，它的面积为12.

11. (1)(2025·编写)若 $ \sqrt { ( x - 7 ) ^ { 2 } } = 1 $,则 $ x = $8或6.
(2)(2025·编写)已知 $ \sqrt { a - 3 } $ 与 $ \sqrt { 4 + b } $ 互为相反数,则 $ a + b $ 的值为-1.

答案：
(1)8或6
(2)-1

12. (1)(2025·成华)若二次根式在 $ \frac { \sqrt { x + 1 } } { 2 x + 1 } $ 实数范围内有意义,则 $ x $ 的取值范围为$ x \geqslant -1 $且$ x \neq -\frac{1}{2} $.
(2)(2025·编写)已知 $ x $,$ y $ 满足 $ y = \sqrt { x - 1 } + \sqrt { 1 - x } + 8 $,则 $ \sqrt { x + y } $ 的算术平方根为$ \sqrt{3} $.

答案：
(1)$ x \geqslant -1 $且$ x \neq -\frac{1}{2} $
(2)$ \sqrt{3} $

13. (1)(2025·编写)若直角三角形的两边长分别为 $ a $,$ b $,且满足 $ \sqrt { a ^ { 2 } - 6 a + 9 } + | b - 4 | = 0 $,则该直角三角形的第三边长为5或$\sqrt{7}$.
(2)(2025·编写)已知 $ \sqrt { x - 2025 } + y ^ { 2 } = - 2 y - 1 $,则 $ x + y + x y $ 的值为-1.

答案：
(1)5或$ \sqrt{7} $
(2)-1

14. (1)(2025·青羊)已知实数 $ a $,$ b $,$ c $ 在数轴上的对应点如图所示,化简 $ \sqrt { a ^ { 2 } } - | a + b | + | c - b | $.

(2)(2025·新津)已知 $ \sqrt { 1 - 3 a } $ 和 $ | 4 b - 3 | $ 互为相反数,求 $ ( a b ) ^ { - 2 } - 27 $ 的值.

答案：
(1)【解】根据数轴可知，$ a ＜ b ＜ 0 ＜ c $，
$ \therefore a + b ＜ 0 $，$ c - b ＞ 0 $，
$ \therefore $原式$ = -a - [-(a + b)] + (c - b) $
$ = -a + (a + b) + c - b $
$ = -a + a + b + c - b = c $.
(2)【解】$ \because \sqrt{1 - 3a} $和$ |4b - 3| $互为相反数，
$ \therefore \sqrt{1 - 3a} + |4b - 3| = 0 $，
$ \therefore 1 - 3a = 0 $，$ 4b - 3 = 0 $，
$ \therefore a = \frac{1}{3} $，$ b = \frac{3}{4} $，
$ \therefore (ab)^{-2} - 27 = -11 $.

15. (2024·龙泉驿)学校举办新年游园活动,其中某班在数学老师的指导下设计的比赛规则为：如图,射线 $ O A $ 是由大量红色玩具摆成的,射线 $ O B $ 则是由大量蓝色玩具摆成的,$ \angle A O B = 45 ^ { \circ } $,选手需从距离点 $ O $ 处 $ 20 $ 米点 $ P $ 处出发,跑步到 $ O A $ 上拿一个红色玩具,再跑到 $ O B $ 上拿一个蓝色玩具,然后再返回到点 $ P $ 处. 求选手行进的最短路程.

答案：
【解】如图，作点P关于直线OA的对称点$ P' $，作点P关于直线OB的对称点$ P'' $，连接$ OP' $，$ OP'' $，$ P'P'' $交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN，此时$ \triangle PMN $的周长最小.

由对称的性质可知，$ OP = OP' = OP'' = 20 $，$ \angle POA = \angle AOP' $，$ \angle POB = \angle BOP'' $.
$ \because \angle AOB = 45^\circ $，$ \therefore \angle P'OP'' = 90^\circ $，
$ \therefore P'P'' = \sqrt{OP'^2 + OP''^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2} $(米)，
即选手行进的最短路程为$ 20\sqrt{2} $米.