《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

9. (1) (2025·编写) 计算：$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$。
(2) (2025·编写) 计算：$\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}-|2 - 3\sqrt{2}|$。
(3) (2025·编写) 计算：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$。
(4) (2025·编写) 计算：$\frac{3}{4-\sqrt{13}}-\frac{6}{\sqrt{13}-\sqrt{7}}-\frac{2}{3+\sqrt{7}}$。

答案：
(1)【解】原式$=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$.
(2)【解】原式$=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}+2-3\sqrt{2}=2$.
(3)【解】原式$=3-2\sqrt{6}+2-3-2\sqrt{6}-2=-4\sqrt{6}$.
(4)【解】原式$=1$.

10. (1) (2025·编写) 已知$a = \sqrt{2} - 1$,$b = 1 + \sqrt{2}$,求$a^2 + b^2 - ab$的值。
(2) (2025·编写) 当$x = \sqrt{5} - 1$时,求代数式$x^2 + 5x - 6$的值。

答案：
(1)【解】$a=\sqrt{2}-1$，$b=1+\sqrt{2}$，则$a+b=(\sqrt{2}-1)+(1+\sqrt{2})=2\sqrt{2}$，$ab=(\sqrt{2}-1)×(1+\sqrt{2})=1$，
$\therefore a^{2}+b^{2}-ab=a^{2}+2ab+b^{2}-3ab=(a+b)^{2}-3ab=(2\sqrt{2})^{2}-3×1=8-3=5$.
 
(2)【解】当$x=\sqrt{5}-1$时，$x^{2}+5x-6=(\sqrt{5}-1)^{2}+5(\sqrt{5}-1)-6=6-2\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5-6=3\sqrt{5}-5$.

11. (1) (2025·编写) 计算：$(\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6})\cdot(\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})= $$-9-6\sqrt{2}$。
(2) (2025·编写) 已知数$a满足\sqrt{a - 2025}+|2024 - a| = a$,则$a - 2024^2$的值为2025。

答案：
(1)$-9-6\sqrt{2}$
(2)$2025$

12. (1) (2025·编写) 已知方程$\sqrt{x}+3\sqrt{y}= \sqrt{300}$,则此方程的正整数解的组数是3。
(2) (2025·编写) 计算：$\sqrt{(a - 2)^2}+(\sqrt{2 - a})^2= $4-2a。

答案：
(1)$3$
(2)$4-2a$

13. (2025·编写) 如图,斜边长为$12cm$,$\angle A = 30^{\circ}的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90^{\circ}至\triangle A'B'C$的位置,再沿$CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB$上,则三角尺向左平移的距离为____$(6-2\sqrt{3})$$cm$(结果保留根号)。

答案： $(6-2\sqrt{3})$

14. (1) (2025·编写) 若$a$,$b$为实数,且$b = \frac{\sqrt{a^2 - 1}+\sqrt{1 - a^2}}{a + 7}+4$,求$a + b$的值。
(2) (2025·成华) 已知$x = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$y = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。
①求$x + y$的值；
②求$x^2 + y^2 - xy$的值。

答案：
(1)【解】由题意得$a^{2}-1\geq0$，$1-a^{2}\geq0$，解得$a=\pm1$，则$b=4$，$\therefore a+b=3$或$a+b=5$.
(2)【解】①$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，
$\therefore x+y=2\sqrt{3}$.
②由①知$xy=1$，
$\therefore x^{2}+y^{2}-xy=(x+y)^{2}-3xy=(2\sqrt{3})^{2}-3=12-3=9$.

15. (2025·编写) 已知$\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+…+\frac{1}{n\sqrt{n + 1}+(n + 1)\sqrt{n}}= \frac{49}{50}$,则$n$的值为____2499。

答案： $2499$