《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

11. (1)(2025·编写)已知点$P(0,m)$在$y$轴的负半轴上,则点$M(-m,-m+1)$在第一象限。
(2)(2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,点$B$的坐标为$(3,1)$,$OA= OB$,$\angle AOB= 90^{\circ}$,则点$A$的坐标是$(-1,3)$。

答案：
(1)一
(2)$(-1,3)$

12. (1)(2025·编写)若点$P(2m-3,-m)$在第四象限,则$m$的取值范围是$m＞\frac{3}{2}$。
(2)(2025·编写)如图,在$x$轴、$y轴上分别截取OA$,$OB$,使$OA= OB$,再分别以点$A$,$B$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧,两弧交于点$P$。若点$P的坐标为(a,2a-3)$,则$a$的值为3。

答案：
(1)$m＞\frac{3}{2}$
(2)3

13. (2025·编写)已知点$M到x轴的距离为3$,到$y轴的距离为4$。
(1)若$M$点位于第一象限,则其坐标为(4,3)；
(2)若$M点位于x$轴的上方,则其坐标为(4,3) 或 (-4,3)；
(3)若$M点位于y$轴的右侧,则其坐标为(4,3) 或 (4,-3)。

答案：
(1)$(4,3)$
(2)$(4,3)$ 或 $ (-4,3) $
(3)$(4,3)$ 或 $ (4,-3) $

14. (2025·编写)在平面直角坐标系中,有$A(0,a)$,$B(b,0)$两点,且$a$,$b满足b= \frac{\sqrt{a^2-4}+\sqrt{4-a^2}+12}{a-2}$。

(1)求$A$,$B$两点的坐标；
(2)若点$P在x$轴上,且$\triangle PAB的面积为6$,求点$P$的坐标。

答案： 【解】
(1)依题意,得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a ^ { 2 } - 4 \geq 0 } \\ { 4 - a ^ { 2 } \geq 0 } \\ { a - 2 \neq 0 } \end{array} \right. $，解得 $a = -2$，则 $b = -3$。所以 $A(0,-2)$，$B(-3,0)$。
(2)设 $P(x,0)$，由题意知，$ \frac{1}{2}|x + 3| × 2 = 6$，解得 $x = 3$ 或 $x = -9$。所以点 $P$ 的坐标为 $ (3,0)$ 或 $ (-9,0)$。

15. (2022·青羊)如图,在平面直角坐标系中,$A(-3,0)$,$B是y$轴正半轴上一动点,以$AB为边在AB的下方作等边\triangle ABP$,点$B在y$轴上运动时,求$OP$的最小值。

答案：
【解】如图,以 $OA$ 为对称轴作等边 $ \triangle ADE$，连接 $EP$ 并延长交 $x$ 轴于点 $F$，则 $ \angle AED = 60^{\circ}$。易得 $AO = \sqrt{3}OE = 3$，
∴ $OE = \sqrt{3}$。

∵ $ \triangle ADE$ 和 $ \triangle ABP$ 是等边三角形，
∴ $AB = AP$，$AD = AE$，$ \angle BAP = \angle DAE = 60^{\circ}$，
∴ $ \angle BAD = \angle PAE$。在 $ \triangle ADB$ 和 $ \triangle AEP$ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AB = AP } \\ { \angle BAD = \angle PAE } \\ { AD = AE } \end{array} \right. $，
∴ $ \triangle ADB \cong \triangle AEP(SAS)$，
∴ $ \angle AEP = \angle ADB = 120^{\circ}$，
∴ $ \angle OEF = 60^{\circ}$，
∴ $OF = \sqrt{3}OE = 3$，$ \angle OFE = 30^{\circ}$，
∴点 $P$ 在直线 $EF$ 上运动。当 $OP \perp EF$ 时，$OP$ 最小，
∴ $OP$ 的最小值为 $ \frac{1}{2} × 3 = \frac{3}{2}$。