《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(2,0)$,点$B的坐标为(0,1)$,将线段$AB$平移,使其一个端点到$C(3,2)$,则平移后另一端点的坐标为(D)

A.$(1,3)$
B.$(5,1)$
C.$(1,3)或(3,5)$
D.$(1,3)或(5,1)$

答案： D

9. (1)(2025·编写)已知点$A(3a + 2,2a - 4)$,请分别根据下列条件,求出$a的值并写出点A$的坐标.
①点$A在x$轴上;
②点$A与点A'(-4,-\frac{8}{3})关于y$轴对称;
③点$A$到两坐标轴的距离相等.
(2)(2025·编写)如图,在平面直角坐标系中,正方形$ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16$.
①请写出点$A$,$E$,$F$的坐标;
②求$S_{\triangle BDF}$.

答案：
(1)【解】①点A在x轴上，则$2a - 4 = 0$，解得$a = 2$，
所以$3a + 2 = 3×2 + 2 = 8$，
故点A的坐标是$(8,0)$。
②根据对称的性质，得点A的坐标是$(4,-\dfrac{8}{3})$。
根据题意得$3a + 2 = 4$，解得$a = \dfrac{2}{3}$。
③当点A在一、三象限的夹角平分线上时，$3a + 2 = 2a - 4$，解得$a = -6$。
所以$3a + 2 = -16$。
故点A的坐标是$(-16,-16)$。
当点A在二、四象限的夹角平分线上时，$3a + 2 + 2a - 4 = 0$，解得$a = \dfrac{2}{5}$，所以$3a + 2 = \dfrac{16}{5}$。
故点A的坐标是$(\dfrac{16}{5},-\dfrac{16}{5})$。
(2)【解】①
∵正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16，
∴正方形ABCD和正方形EFGC的边长分别为8和4，
∴$A(0,8)$，$E(8,4)$，
∴$OG = 8 + 4 = 12$，$F(12,4)$。
②$S_{\triangle BDF} = S_{\triangle BDC} + S_{梯形DCGF} - S_{\triangle DGF} = \dfrac{1}{2}×8×8 + \dfrac{1}{2}×(4 + 8)×4 - \dfrac{1}{2}×(8 + 4)×4 = 32 + 24 - 24 = 32$。

10. (1)(2022·武侯)在平面直角坐标系$xOy$中,$\triangle ABC$的位置如图所示,三个顶点$A$,$B$,$C$都在格点上.
①分别直接写出$\triangle ABC$三个顶点的坐标;
②请在图中按要求画图:描出点$C关于y轴对称的点D$,连接$AD$,$BD$;
③试判断$\triangle ABD$的形状,并说明理由.

(2)(2025·青羊)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC的顶点A(0,1)$,$B(2,0)$,$C(4,4)$均在正方形网格的格点上.
①在图中画出$\triangle ABC关于y轴对称的图形\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,点$C的对应点C_{1}$的坐标是____;
②求$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的面积;
③在$\triangle ABC$中,$AC$边上的高为____.

答案：

(1)【解】①$A(-4,3)$，$B(3,0)$，$C(-1,5)$。
②如图，点D为所作。

③$\triangle ABD$为等腰直角三角形。
理由如下：
∵$AD = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$，$BD = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$，$AB = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$，
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$，$AD = BD$，
∴$\triangle ABD$为等腰直角三角形，$∠ADB = 90^{\circ}$。
(2)①$(-4,4)$ ③2
【解】①如图，$\triangle A_1B_1C_1$即为所求，点C的对应点$C_1$的坐标是$(-4,4)$。

②$S_{\triangle A_1B_1C_1} = 4×4 - \dfrac{1}{2}×2×4 - \dfrac{1}{2}×3×4 - \dfrac{1}{2}×1×2 = 5$。
③设AC边上的高为h。
∵$AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
∴$\dfrac{1}{2}×5×h = 5$，
∴$h = 2$。
故答案为2。