《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

13. (1)(2024·双流)定义一种新运算“※”：$x※y = ax + by^{2}$,其中$a$,$b$为常数.已知$1※2 = 5$,$2※1 = 3$,则$2※3 = $11.
(2)(2025·青羊)关于$x$,$y的方程组\begin{cases}2x - y = 3,\\4ax + by = 22\end{cases} 与\begin{cases}2x + y = 5,\\ax - by = 8\end{cases} $有相同的解,则$2a - b$的值为8.

答案：
(1) 11
(2) 8

14. (1)(2025·编写)已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}3x - y = 5,\\4ax + 5by = -22\end{cases} 和\begin{cases}2x + 3y = -4,\\ax - by = 8\end{cases} $有相同的解,求$(-a)^{b}$的值.
(2)(2025·青羊)已知关于$x$,$y的二元一次方程(2m - 1)x + (m + 1)y - m + 2 = 0$,无论实数$m$取何值,此二元一次方程都有一个固定的解,求这个相同的解.

答案：
(1)【解】因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为 $$ \begin{cases} 3 x - y = 5 \\ 4 a x + 5 b y = - 22 \\ 2 x + 3 y = - 4 \\ a x - b y = 8 \end{cases} $解方程组 $$ \begin{cases} 3 x - y = 5 \\ 2 x + 3 y = - 4 \end{cases} $$ 得 $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \end{cases} $
将 $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \end{cases} $$ 代入方程组 $$ \begin{cases} 4 a x + 5 b y = - 22 \\ a x - b y = 8 \end{cases} $得 $$ \begin{cases} 4 a - 10 b = - 22 \\ a + 2 b = 8 \end{cases} $$ 解得 $$ \begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases} $$.所以 $$ ( - a ) ^ { b } = ( - 2 ) ^ { 3 } = - 8 $$.(2)【解】将方程 $$ ( 2 m - 1 ) x + ( m + 1 ) y - m + 2 = 0 $$ 整理，得 $$ ( 2 x + y - 1 ) m - x + y + 2 = 0 $$.$
\because $$ 无论实数 $$ m $$ 取何值，此二元一次方程都有一个固定的解，
$ \therefore \begin{cases} 2 x + y - 1 = 0 \\ - x + y + 2 = 0 \end{cases} $$ 解得 $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \end{cases} $

15. (2024·武侯)定义：在平面直角坐标系$xOy$中,若点$P关于直线m的对称点在图形Q$的内部(不包含边界),则称点$P是图形Q关于直线m$的“伴随点”.如图,已知$A(2,2)$,$B(5,1)$,$C(3,5)$,直线$l$：$y = -x + b$,若原点$O是\triangle ABC关于直线l$的“伴随点”,求$b$的取值范围.

答案： 1. 首先求原点$O$关于直线$l:y = -x + b$的对称点$O'$的坐标：
设$O'(x_0,y_0)$，根据点$(x_1,y_1)$关于直线$y=-x + c$的对称点$(x_2,y_2)$的公式：$\left\{\begin{array}{l}\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=1\\frac{y_2 + y_1}{2}=-\frac{x_2 + x_1}{2}+c\end{array}\right.$（这里$x_1 = 0,y_1 = 0,c = b$）。
由$\frac{y_0-0}{x_0 - 0}=1$，得$y_0=x_0$；又由$\frac{y_0 + 0}{2}=-\frac{x_0+0}{2}+b$，将$y_0=x_0$代入可得：$x_0=b,y_0=b$，即$O'(b,b)$。
2. 然后判断点$O'$在$\triangle ABC$内部时$b$的取值范围：
先求直线$AB$的方程：
已知$A(2,2)$，$B(5,1)$，根据直线的两点式$y - y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，$k_{AB}=\frac{2 - 1}{2 - 5}=-\frac{1}{3}$，直线$AB$的方程为$y - 2=-\frac{1}{3}(x - 2)$，即$y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$。
再求直线$AC$的方程：
已知$A(2,2)$，$C(3,5)$，$k_{AC}=\frac{5 - 2}{3 - 2}=3$，直线$AC$的方程为$y - 2=3(x - 2)$，即$y = 3x-4$。
最后求直线$BC$的方程：
已知$B(5,1)$，$C(3,5)$，$k_{BC}=\frac{5 - 1}{3 - 5}=-2$，直线$BC$的方程为$y - 1=-2(x - 5)$，即$y=-2x + 11$。
因为点$O'(b,b)$在$\triangle ABC$内部，则$\left\{\begin{array}{l}b\lt-\frac{1}{3}b+\frac{8}{3}\\b\gt3b - 4\\b\lt-2b + 11\end{array}\right.$。
解不等式$b\lt-\frac{1}{3}b+\frac{8}{3}$：
移项得$b+\frac{1}{3}b\lt\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}b\lt\frac{8}{3}$，解得$b\lt2$。
解不等式$b\gt3b - 4$：
移项得$4\gt2b$，解得$b\lt2$。
解不等式$b\lt-2b + 11$：
移项得$3b\lt11$，解得$b\lt\frac{11}{3}$。
同时，点$O'$在$\triangle ABC$内部，还需满足$b\gt0$（因为$O'$在第一象限方向靠近$\triangle ABC$）。
所以$b$的取值范围是$0\lt b\lt2$。