《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

10. (2025·编写)计算：
(1)$\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$；
(2)$\sqrt[3]{-8}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\sqrt{54}÷\sqrt{3}+(3.14-\pi)^{0}$；
(3)$\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\sqrt{3}×(\sqrt{3}-\sqrt{6})+\sqrt{2}$；
(4)$(\frac{1}{3})^{-1}-(\pi+\sqrt{2})^{0}+(-2)^{2}×\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$。

答案：
(1) 【解】原式 $=\sqrt{\frac{12}{3}}+\sqrt{\frac{27}{3}}-(3 - 2)=2 + 3 - 1=4$.
(2) 【解】原式 $=-2-(\sqrt{2}-1)+3\sqrt{2}+1=-2-\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}$.
(3) 【解】原式 $=\sqrt{2}+1+3-3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4-\sqrt{2}$.
(4) 【解】原式 $=4+\sqrt{2}$.

11. (1)(2024·郫都)若$x= \frac{2}{\sqrt{3}-1}$,则$x^{2}-2x + 1$的值为3。
(2)(2025·成华)实数$\frac{1}{3-\sqrt{7}}的整数部分a= $2,小数部分$b= $$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$。

答案：
(1) 3
(2) 2 $\frac{\sqrt{7}-1}{2}$

12. (1)(2025·编写)已知$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则$a^{2}+b^{2}$的值为$18-4\sqrt{5}$。
(2)(2025·编写)如果$\sqrt{a - 3}$与$\sqrt{2 - b}$互为相反数,那么代数式$-\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

答案：
(1) $18-4\sqrt{5}$
(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

13. (2025·新津)对于两个实数$a,b$(其中$a＞b$),定义一种新运算：$a\otimes b= \frac{a + b}{\sqrt{a - b}}$,如：$9\otimes5= \frac{9 + 5}{\sqrt{9 - 5}} = 7$,那么$5\otimes(-3)= $$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

14. (1)(2024·成华)计算：$\sqrt[3]{8}+\frac{1}{2+\sqrt{5}}-(\frac{1}{3})^{2}+\vert\sqrt{5}-3\vert$；
(2)(2024·锦江)已知$a= \frac{1}{\sqrt{2}-1}$,$b= \frac{1}{\sqrt{2}+1}$,求$a^{2}-ab + b^{2}$的值。

答案：
(1) 【解】原式 $=2+\frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})×(2-\sqrt{5})}-\frac{1}{9}+3-\sqrt{5}=2+\sqrt{5}-2-\frac{1}{9}+3-\sqrt{5}=2-2+3-\frac{1}{9}+\sqrt{5}-\sqrt{5}=\frac{26}{9}$.
(2) 【解】 $\because a=\frac{1}{\sqrt{2}-1},b=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$,
$\therefore a=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$,
$b=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$,
$\therefore a^{2}-ab+b^{2}=(a - b)^{2}+ab=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^{2}+(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=4+2-1=5$.

15. (2024·青羊)已知$m= \frac{1}{\sqrt{2}-1}$,$n是m$的小数部分。
(1)求$n+\frac{1}{n}$的值；
(2)求$m^{3}-m^{2}-3m + n^{2}+\frac{1}{n^{2}}$的值。

答案： 【解】
(1) $m=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$.
$\because 1＜\sqrt{2}＜2,\therefore 2＜\sqrt{2}+1＜3$,
则 $n=\sqrt{2}+1-2=\sqrt{2}-1$,
$\therefore n+\frac{1}{n}=\sqrt{2}-1+\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}-1+(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}$.
(2) $m^{3}-m^{2}-3m+n^{2}+\frac{1}{n^{2}}$
$=m(m^{2}-m-3)+(n+\frac{1}{n})^{2}-2$
$=(\sqrt{2}+1)×[(\sqrt{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}+1)-3]+(2\sqrt{2})^{2}-2$
$=(\sqrt{2}+1)×(2+1+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-1-3)+8-2$
$=(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)+8-2$
$=2-1+8-2$
$=7$.