《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

13. (1)(2025·编写)无论 $ m $ 取任何实数,一次函数 $ y = (m - 1)x + m $ 必过一定点,此定点的坐标为$(-1, 1)$。
(2)(2025·温江)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l: y = x + 1 $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $,交 $ y $ 轴于点 $ A_1 $,点 $ A_2 $,$ A_3 $,…$$ 在直线上,点 $ B_1 $,$ B_2 $,$ B_3 $,…$$ 在 $ x $ 轴的正半轴上,若 $ \triangle A_1OB_1 $,$ \triangle A_2B_1B_2 $,$ \triangle A_3B_2B_3 $,…$$ 依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在 $ x $ 轴上,则 $ \triangle A_8B_7B_8 $ 的顶点 $ A_8 $ 的坐标为$(127, 128)$。

答案：
(1)$(-1, 1)$　
(2)$(127, 128)$

14. (2025·编写)已知实数 $ x $,$ y $ 满足 $ x + 2y = 4 $,并且 $ x \leq 3 $,$ y ＜ 2 $,若 $ m = x - 2y $,求 $ m $ 的取值范围。

答案： [解]
∵$x + 2y = 4$，
∴$y = \frac{1}{2}(4 - x)$。
∵$y ＜ 2$，
∴$\frac{1}{2}(4 - x) ＜ 2$，解得$x ＞ 0$。
又
∵$x \leq 3$，
∴$0 ＜ x \leq 3$。
∵$m = x - 2y = x - 2×\frac{1}{2}(4 - x) = 2x - 4$，
当$x = 0$时，$m = -4$；
当$x = 3$时，$m = 2×3 - 4 = 2$，
∴$-4 ＜ m \leq 2$。

15. (2024·青羊)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 8 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ M $,$ N $,点 $ A $,$ B $ 分别在 $ y $ 轴、$ x $ 轴上,且 $ \angle B = 30^\circ $,$ AB = 8 $,将 $ \triangle ABO $ 绕原点 $ O $ 顺时针转动一周,当 $ AB $ 与直线 $ MN $ 平行时,求点 $ A $ 的坐标。

答案：
[解]①如图1。

∵$AB = 8$，$\angle ABO = 30^{\circ}$，
∴$OA = \frac{1}{2}AB = 4$，$\angle BAO = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$，
∴$\angle OAD = 120^{\circ}$。
∵直线$MN$的表达式为$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}x + 8$，
∴$\angle NMO = 30^{\circ}$。
∵$AB // MN$，
∴$\angle ADO = \angle NMO = 30^{\circ}$，
∴$\angle AOC = 30^{\circ}$，
∴$AC = \frac{1}{2}OA = 2$，
∴$OC = \sqrt{3}AC = 2\sqrt{3}$
∴点$A$的坐标为$(2\sqrt{3}, 2)$。
②如图2。

∵图2中的点$A$与图1中的点$A$关于原点对称，
∴点$A$的坐标为$(-2\sqrt{3}, -2)$。
综上，点$A$的坐标为$(2\sqrt{3}, 2)$或$(-2\sqrt{3}, -2)$。