《2025年天府前沿八年级数学上册北师大版》

8. (2024·河北)在田径运动会“100米短跑”比赛后,嘉嘉帮助老师将20名运动员的成绩录入电脑,得到平均成绩为13.8,方差为3.64.后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误,一个错录为9秒,实际成绩是12秒;另一个错录为17秒,实际成绩是14秒,并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19名运动员的成绩计算),且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样,老师将错录的2个成绩进行了更正,并加上了漏掉的运动员的成绩,更正后实际成绩的方差是$s^{2}$,则(B)
A.$s^{2}= 3.64$
B.$s^{2}＜3.64$
C.$s^{2}＞3.64$
D.$s= 3.64$

答案： B

9. (1)(2024·江西)在一次比赛中,有5位裁判分别给某位选手的打分情况如下表:
|裁判人数|2|2|1|
|选手得分|9.1|9.3|9.7|
求这位选手得分的平均数和方差.
(2)(2025·锦江)某校举办国学知识竞赛,设定满分10分,学生得分均为整数.在初赛中,甲、乙两组(每组10人)学生成绩如下(单位:分):
甲组:5,6,6,6,6,6,7,9,9,10;
乙组:5,6,6,6,7,7,7,7,9,10.
|组别|平均数|方差|
|甲组|7|2.6|
|乙组|7|$s_{乙}^{2}$|
从平均数和方差看,若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛,应选哪个组? 并说明理由.

答案：
(1)【解】根据题意,得平均数是$(9.1×2+9.3×2+9.7×1)÷5=9.3$，
方差为 $s^{2}=\frac{1}{5}×[(9.1-9.3)^{2}×2+(9.3-9.3)^{2}×2+(9.7-9.3)^{2}]=0.048$。
(2)【解】应选乙组,理由如下:
∵乙组的平均数为7,
∴ $s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}×[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}×3+(7-7)^{2}×4+(9-7)^{2}+(10-7)^{2}]=\frac{1}{10}×(4+1×3+4+9)=2$，
∴ $s_{乙}^{2}＜s_{甲}^{2}$，
∴乙组的成绩比较稳定,故选乙组参加决赛。

10. (1)(2025·编写)2024年是红军长征出发90周年,某市举行了学习长征精神的“三独”比赛.独唱项目中,5名同学的得分分别是:9.6,9.2,9.6,9.7,9.4.求这组数据的方差.
(2)(2024·莱芜)已知2,3,5,m这四个数据的方差是2,求5,6,8,m+3这四个数据的标准差.

答案：
(1)【解】平均数是 $\frac{9.6+9.2+9.6+9.7+9.4}{5}=9.5$，
方差是 $\frac{1}{5}×[2×(9.6-9.5)^{2}+(9.2-9.5)^{2}+(9.7-9.5)^{2}+(9.4-9.5)^{2}]=0.032$。
(2)【解】设原数据的平均数为$\overline{x}$,新数据的每一个数都加了3,则平均数变为$\overline{x}+3$，
则原来的方差 $s_{1}^{2}=\frac{1}{4}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{4}-\overline{x})^{2}]=2$，
现在的方差 $s_{2}^{2}=\frac{1}{4}[(x_{1}+3-\overline{x}-3)^{2}+(x_{2}+3-\overline{x}-3)^{2}+\cdots+(x_{4}+3-\overline{x}-3)^{2}]=\frac{1}{4}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{4}-\overline{x})^{2}]=2$，
所以标准差是$\sqrt{2}$。

11. (2025·编写)已知一组数据1,a,3,6,7,它的平均数是4,这组数据的方差是$\frac{24}{5}$.

答案： $\frac{24}{5}$