《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 图①所示是著名的赵爽弦图,其中4个直角三角形较长直角边的长都为$ a $,较短直角边的长都为$ b $,斜边的长都为$ c $,由此推导出直角三角形的三边关系：若直角三角形两条直角边的长为$ a $,$ b $,斜边的长为$ c $,则$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $.
(1) 图②所示为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导上面的关系式.
(2) 如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄$ C $,河边原有两个取水点$ A $,$ B $,其中$ AB = AC $.由于某种原因,由$ C 到 A $的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点$ H $(点$ A $,$ H $,$ B $在一条直线上),并新修一条路$ CH $,且$ CH \perp AB $,测得$ CH = 6 $千米,$ HB = 4 $千米.求原路$ CA $长多少千米.

答案： 9.解:
(1)
∵△ADE,△BCE,△CDE是直角三角形,AB⊥AD,BC⊥AB,DE⊥CE,
∴梯形ABCD的面积为$\frac {1}{2}(a+b)(a+b)$或$\frac {1}{2}c^{2}+ab$,
∴$\frac {1}{2}(a+b)(a+b)=\frac {1}{2}c^{2}+ab$,
∴$ab+\frac {1}{2}c^{2}=\frac {1}{2}a^{2}+ab+\frac {1}{2}b^{2}$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2)设CA=AB=x千米,则AH=(x - 4)千米,在Rt△ACH中,由勾股定理得$CA^{2}=CH^{2}+AH^{2}$,即$x^{2}=6^{2}+(x - 4)^{2}$,解得x=6.5.答:原路CA长6.5千米.

10. 对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.
(1) 图①所示的大正方形是由两个小正方形和两个形状、大小完全相同的长方形拼成的.用两种不同的方法计算图①中空白部分的面积,可以得到的数学等式是$a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}$.
(2) 将图①中两个阴影长方形沿着对角线剪开,可以得到4个全等的直角三角形,其中两条直角边的长分别为$ a $,$ b $,斜边的长为$ c $,将这4个直角三角形拼成如图②所示的大正方形,中间空白图形是边长为$ c $的正方形.试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积,并探究$ a $,$ b $,$ c $之间满足怎样的等量关系.
(3) 应用：已知一个直角三角形两条直角边的长为6和8,求这个直角三角形斜边上的高.

答案： 10.解:
(1)空白部分的面积可以看作两个正方形的面积和,即$a^{2}+b^{2}$.空白部分的面积也可以看作边长为$(a+b)$的正方形面积减去两个长为a、宽为b的长方形面积,即$(a+b)^{2}-2ab$.综上可得$a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}$,故答案为$a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}$.
(2)中间正方形的边长为c,因此面积为$c^{2}.$中间正方形的面积也可以看作边长为$(a+b)$的正方形的面积减去4个两条直角边分别为a,b的三角形的面积,即$c^{2}=(a+b)^{2}-2ab$,整理得$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$
(3)
∵a=6,b=8,
∴$c^{2}=a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=100$,
∴斜边c=10,
∴斜边上的高为$\frac {6×8}{10}=\frac {24}{5}.$答:斜边上的高为$\frac {24}{5}.$