《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 若 a,b 都是无理数,且$a + b = 2$,则 a,b 的值可以是$1+\pi$,$1-\pi$(填上 1 组即可)。

答案： $1+\pi$,$1-\pi$

8. 已知一个长方体的体积是 1620,它的长、宽、高的比是$5:4:3$。这个长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？

答案： 解:该长方体的长、宽、高不是无理数.理由如下:设该长方体的长、宽、高分别为5x,4x,3x.
由题意可得$60x^{2}=1620$,
解得x=3,
所以该长方体的长、宽、高分别为15,12,9.
因为15,12,9都是整数,属于有理数,不属于无理数,
所以该长方体的长、宽、高不是无理数.

9. 已知面积为$15π$的圆的半径为 x,请回答下列问题：

答案： 由圆的面积公式$S = \pi r^2$，得$\pi x^2=15\pi$。
两边同时除以$\pi$，得$x^2 = 15$。
因为半径$x＞0$，所以$x=\sqrt{15}$。
结论：$x=\sqrt{15}$

- (2)x 的整数部分是多少$？(3)$把 x 的值精确到 0.1 是多少？精确到 0.01 呢？

答案：
(2)x的整数部分是3.
(3)把x的值精确到0.1是3.9,精确到0.01是3.87.

10. 500 多年前,数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数。直到有一天,大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生,在研究 1 和 2 的比例中项(若$1:x = x:2$,则 x 叫作 1 和 2 的比例中项)时,怎么也想不出这个比例中项值。后来,他画了一个边长为 1 的正方形,设对角线的长为 x,于是由毕达哥拉斯定理得$x^{2}= 1^{2}+1^{2}= 2$。他认为 x 代表对角线的长,而$x^{2}= 2$,那么 x 必定是确定的数。这时,他又为自己提出了几个问题：
(1)x 是整数吗？为什么不是？
(2)x 可能是分数吗？是,能找出来吗？不是,能说出理由吗？
亲爱的同学,你能帮他解答这些问题吗？

答案： 解:
(1)不是,因为1＜2＜4,而$x^{2}=2$,
所以$1＜x^{2}＜4$.若x＞0,1＜x＜2,
则在1和2之间不存在另外的整数.
(2)不是,因为任何分数的平方不可能是整数.

11. 数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？
以$0.\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答(注：$0.\dot{3}即0.33333…$)：
设$0.\dot{3}$为 x,即$0.\dot{3}= x$,
等式两边同时乘 10,得$3.\dot{3}= 10x$,
即$3 + 0.\dot{3}= 10x$,
因为$0.\dot{3}= x$,所以$3 + x = 10x$,
解得$x= \frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}= \frac{1}{3}$。
因为分数是有理数,所以$0.\dot{3}$是有理数。
请根据上述内容解答下列问题：
(1)无限循环小数$0.\dot{7}$写成分数的形式是$\frac{7}{9}$；
(2)请用解方程的办法将$0.\dot{2}\dot{1}$写成分数形式。

答案：
(1)$\frac{7}{9}$
(2)设$0.\dot{2}\dot{1}$为x,即$0.\dot{2}\dot{1}=x$,
等式两边同时乘100,得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$,
即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$,
因为$0.\dot{2}\dot{1}=x$,所以21+x=100x,
解得$x=\frac{7}{33}$,故$0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$.