《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 如图,一根旗杆$AC$高10 m,在旗杆顶部$A与地面一固定点B$之间要拉一根笔直的铁丝(不计损耗). 已知固定点$B到旗杆底部C$的距离是7 m,工人准备了长为12.5 m的铁丝. 你认为这一长度的铁丝够用吗?

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。
已知$AC = 10m$，$BC = 7m$，则$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10^{2}+7^{2}}=\sqrt{100 + 49}=\sqrt{149}$。
因为$12.5^{2}=156.25$，$149\lt156.25$，即$\sqrt{149}\lt12.5$。
所以这一长度的铁丝够用。

10. 数学活动课上,王老师说:“$\sqrt{17}$是无理数,无理数就是无限不循环小数,同学们,你们能把$\sqrt{17}$的小数部分全部写出来吗?”大家议论纷纷,小明同学说:“要把它的小数部分全部写出来是非常难的,但我们可以用$\sqrt{17}-4$表示它的小数部分.”王老师说:“小明同学的说法是正确的,因为$\sqrt{17}$的整数部分是4,用$\sqrt{17}$减去4就得到它的小数部分.”
请你根据上面的材料解答:已知$7+\sqrt{13}= x+y$,其中$x$是一个整数,且$0＜y＜1$,求$x,y$的值.

答案： 解：
因为$9\lt13\lt16$，所以$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$。
则$3 + 7\lt7+\sqrt{13}\lt4 + 7$，也就是$10\lt7+\sqrt{13}\lt11$。
因为$7+\sqrt{13}=x + y$，$x$是整数，$0\lt y\lt1$，所以$x = 10$。
$y=7+\sqrt{13}-10=\sqrt{13}-3$。
综上，$x = 10$，$y=\sqrt{13}-3$。

11. 小丽想用一张面积为$400\ cm^{2}的正方形纸片沿着边的方向裁出一张面积为300\ cm^{2}$的长方形纸片.
(1) 请帮小丽设计一种可行的裁剪方案.
(2) 若使长方形的长、宽之比为$3:2$,小丽能用这张纸片裁出符合要求的纸片吗? 若能,请帮小丽设计一种裁剪方案;若不能,请简要说明理由.

答案： $(1)$ 设计可行的裁剪方案
- 已知正方形纸片面积为$S = 400\space cm^{2}$，根据正方形面积公式$S=a^{2}$（$a$为边长），可得正方形边长$a=\sqrt{400} = 20\space cm$。
- 设长方形纸片的长为$x\space cm$（$x\leqslant20$），宽为$y\space cm$，面积$xy = 300$，不妨取$x = 20$，则$y=\frac{300}{20}=15$。
裁剪方案：以正方形一边为长方形的长$20\space cm$，在其邻边上截取$15\space cm$作为长方形的宽，沿边裁剪即可得到面积为$300\space cm^{2}$的长方形。
$(2)$ 判断能否裁出长、宽之比为$3:2$的长方形
- 设长方形纸片的长为$3x\space cm$，宽为$2x\space cm$。
- 根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得$3x\cdot2x=300$，即$6x^{2}=300$，$x^{2} = 50$，解得$x=\sqrt{50}$（$x\gt0$）。
- 则长方形长$3x = 3\sqrt{50}=\sqrt{9×50}=\sqrt{450}$。
- 因为正方形边长为$20=\sqrt{400}$，而$\sqrt{450}\gt\sqrt{400}$，即长方形的长大于正方形的边长。
所以小丽不能用这张纸片裁出符合要求的纸片。
综上，答案依次为：$(1)$**以正方形一边为长方形的长$20\space cm$，在其邻边上截取$15\space cm$作为长方形的宽，沿边裁剪即可得到面积为$300\space cm^{2}$的长方形**；$(2)$**不能，因为按长、宽比$3:2$计算出的长方形的长大于正方形的边长**。