《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 如图,已知Rt△ABC,两直角边$ AC = 6cm $,$ BC = 8cm $,点$ D 为 BC $上一点.现将Rt△ABC沿$ AD $折叠,使点$ C 落在斜边 AB 上的点 E $处,试求$ CD $的长.

答案： 7.解:在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,由勾股定理得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=10^{2}$,故AB=10 cm.由折叠可知$∠C=∠DEA=90^{\circ }$,则$∠DEB=90^{\circ }$.
∵Rt△ABC的面积为$\frac {1}{2}AC\cdot BC=\frac {1}{2}×6×8=24(cm^{2})$,且DE=CD,
∴Rt△ABC的面积=Rt△ACD的面积+△ABD的面积=$\frac {1}{2}AC\cdot CD+\frac {1}{2}AB\cdot DE=\frac {1}{2}×6CD+\frac {1}{2}×10DE=3CD+5CD=24$,解得CD=3.故CD的长为3 cm.

8. 用硬纸板做成的两个全等直角三角形如图①所示,两直角边的长分别为$ a 和 b $,斜边的长为$ c $.图②是以$ c $为直角边的长的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
(1) 画出拼成的图形的示意图,指出它是什么图形.
(2) 用这个图形验证勾股定理.

答案：
8.解:
(1)如图,该图形是梯形.
(2)根据梯形的面积公式可知该梯形的面积为$\frac {1}{2}(a+b)(a+b),$由上图我们还发现该梯形的面积等于3个三角形的面积和,即$\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}c^{2},$两者列成等式化简即可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$