《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 【阅读理解】
如何判断无理数的大小范围呢? 我们可以这样做:
因为$25＜30＜36$,
所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$,
即$5＜\sqrt{30}＜6$,
因此$\sqrt{30}$是介于5与6之间的一个数.
由此我们可以得到这样的结论:$\sqrt{30}$的整数部分是5,小数部分是$\sqrt{30}-5$.
【问题解决】
(1) 下列无理数在3与4之间的是(C).
A. $\sqrt{7}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{13}$
D. $\sqrt{17}$
(2) $\sqrt{11}$的整数部分是3,小数部分是$\sqrt{11}-3$.
(3) $\sqrt{21}-2的整数部分为a$,小数部分为$b$,则$b-a= $$\sqrt{21}-6$.

答案： 1. （1）
对于选项A：
因为$4\lt7\lt9$，根据$\sqrt{4}\lt\sqrt{7}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{7}\lt3$。
对于选项B：
先计算$2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，因为$4\lt8\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{8}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt2\sqrt{2}\lt3$。
对于选项C：
因为$9\lt13\lt16$，所以$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{13}\lt4$。
对于选项D：
因为$16\lt17\lt25$，所以$\sqrt{16}\lt\sqrt{17}\lt\sqrt{25}$，即$4\lt\sqrt{17}\lt5$。
所以在$3$与$4$之间的无理数是$\sqrt{13}$，答案是C。
2. （2）
因为$9\lt11\lt16$，根据$\sqrt{9}\lt\sqrt{11}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{11}\lt4$。
所以$\sqrt{11}$的整数部分是$3$，小数部分是$\sqrt{11}-3$。
3. （3）
因为$16\lt21\lt25$，所以$\sqrt{16}\lt\sqrt{21}\lt\sqrt{25}$，即$4\lt\sqrt{21}\lt5$。
那么$4 - 2\lt\sqrt{21}-2\lt5 - 2$，也就是$2\lt\sqrt{21}-2\lt3$。
所以$\sqrt{21}-2$的整数部分$a = 2$，小数部分$b=\sqrt{21}-2 - 2=\sqrt{21}-4$。
则$b - a=\sqrt{21}-4-2=\sqrt{21}-6$。
综上，答案依次为：（1）C；（2）$3$，$\sqrt{11}-3$；（3）$\sqrt{21}-6$。

1. 物理学家焦耳发现电流通过导体时可以产生热量. 电流发热的功率公式为$P= I^{2}R$,其中$P(W)$为电功率,$I(A)$为电流强度,$R(\Omega)$为电阻. 已知某电热炉的发热功率为1800 W,电阻为40 Ω,则这个电热炉的电流$I$介于(B).
A.5 A和6 A之间
B.6 A和7 A之间
C.7 A和8 A之间
D.8 A和9 A之间

答案： B

2. 已知$a= \sqrt{2023}-\sqrt{2022}$,$b= \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$,$c= \sqrt{2025}-\sqrt{2024}$,下列结论正确的是(A).
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞a＞c$
D.$b＞c＞a$

答案： A

3. 满足$m＞|\sqrt{10}-1|的整数m$的值可能是(A).
A.3
B.2
C.1
D.0

答案： A

4. 如图①,在$\triangle ABC$中,$AB= BC= 2$,$\angle B= 120^{\circ}$,$M是BC$的中点. 设$AM= a$,则表示数$a$的点落在图②数轴上所标4段中的(A).

A.①段
B.②段
C.③段
D.④段

答案： A

5. 一个正三角形的边长为6 cm,高为$h$,则$h= $$3\sqrt{3}$cm,若将$h$精确到个位,则$h$约为5.2cm(结果精确到0.1 cm).

答案： $3\sqrt3 5.2$　　

6. 已知$44^{2}= 1936$,$45^{2}= 2025$,$46^{2}= 2116$,$47^{2}= 2209$,若$n$为整数,且$n＜\sqrt{2170}＜n+1$,则$n$的值为46.

答案： 46

7. 比较大小:$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$＞$\frac{8}{5}$(填“＞”“＜”或“=”).

答案： ＞

8. 在课堂上,老师出了一道题:比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}与\frac{2}{3}$的大小. 小明的解法如下:
解:$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}= \frac{\sqrt{19}-2-2}{3}= \frac{\sqrt{19}-4}{3}$,
$\because4^{2}= 16＜19$,$\therefore\sqrt{19}＞4$,$\therefore\sqrt{19}-4＞0$,
$\therefore\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$,$\therefore\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为“作差法”.
(1) 根据上述材料填空(在横线上填“＞”“=”或“＜”).
① 若$a-b＞0$,则$a$＞$b$;
② 若$a-b= 0$,则$a$=$b$;
③ 若$a-b＜0$,则$a$＜$b$.
(2) 利用上述方法比较$\frac{\sqrt{19}-3}{2}与\frac{3}{2}$的大小.

答案： $(1)$ 填空
① 若$a - b＞0$，根据不等式的基本性质，移项可得$a＞b$；
② 若$a - b = 0$，移项可得$a=b$；
③ 若$a - b＜0$，移项可得$a＜b$。
故答案依次为：$＞$；$=$；$＜$。
$(2)$ 比较$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$与$\frac{3}{2}$的大小
解：利用作差法，计算$\frac{\sqrt{19}-3}{2}-\frac{3}{2}$。
根据同分母分数减法法则$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a - b}{c}$（$c\neq0$），则$\frac{\sqrt{19}-3}{2}-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}-3 - 3}{2}=\frac{\sqrt{19}-6}{2}$。
因为$6^{2}=36$，而$19＜36$，根据算术平方根的性质，若$m＞n＞0$，则$\sqrt{m}＞\sqrt{n}$，所以$\sqrt{19}＜6$。
那么$\sqrt{19}-6＜0$，进而$\frac{\sqrt{19}-6}{2}＜0$。
因为$\frac{\sqrt{19}-3}{2}-\frac{3}{2}＜0$，根据$(1)$中作差法的结论，所以$\frac{\sqrt{19}-3}{2}＜\frac{3}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$ $＞$，$=$，$＜$；$(2)$ $\boldsymbol{\frac{\sqrt{19}-3}{2}＜\frac{3}{2}}$。