《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 计算.
(1)$\sqrt{2}×\sqrt{18}$
(2)$\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}$
(3)$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{12}}{4}÷\sqrt{27}$

答案： 1. （1）
解：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{2}×\sqrt{18}=\sqrt{2×18}$。
因为$2×18 = 36$，所以$\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$。
2. （2）
解：先将带分数化为假分数，$4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}÷\sqrt{\frac{c}{d}}=\sqrt{\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}}(a\geq0,b ＞ 0,c\geq0,d ＞ 0)$，则$\sqrt{4\frac{1}{2}}÷\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{9}{4}}$。
又因为$\frac{9}{2}÷\frac{9}{4}=\frac{9}{2}×\frac{4}{9}=2$，所以$\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{9}{4}}=\sqrt{2}$。
3. （3）
解：先化简二次根式，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
则原式$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{12}}{4}÷\sqrt{27}=2\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{3}}{4}÷3\sqrt{3}$。
先计算$2\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{3}}{4}$：
$2\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{6}}{4}=\sqrt{6}$。
再计算$\sqrt{6}÷3\sqrt{3}$，根据$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，$\sqrt{6}÷3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}×\sqrt{3}}$。
因为$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{3}×\sqrt{3}=9$，所以$\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{9}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
综上，答案依次为：（1）$6$；（2）$\sqrt{2}$；（3）$\frac{\sqrt{2}}{3}$。

8. 站在海拔为$h米的地方看到的水平距离为d$米,它们的关系可近似地用式子$d = 8\sqrt{\frac{h}{5}}$表示.
(1)当$h = 1000$时,求$d$的值.
(2)某一登山者从海拔$n米处登上海拔2n$米高的山顶,那么他看到的水平距离是原来的多少倍？

答案： $(1)$求$h = 1000$时$d$的值
解：
已知$d = 8\sqrt{\frac{h}{5}}$，当$h = 1000$时，将$h = 1000$代入公式$d = 8\sqrt{\frac{h}{5}}$中，可得：
$d=8\sqrt{\frac{1000}{5}}$
$=8\sqrt{200}$
$=8×10\sqrt{2}$
$=80\sqrt{2}$（米）
$(2)$求登山者看到的水平距离是原来的多少倍
解：
当海拔为$n$米时，水平距离$d_1 = 8\sqrt{\frac{n}{5}}$；
当海拔为$2n$米时，水平距离$d_2 = 8\sqrt{\frac{2n}{5}}$。
则$\frac{d_2}{d_1}=\frac{8\sqrt{\frac{2n}{5}}}{8\sqrt{\frac{n}{5}}}$
根据根式运算法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq0,b ＞ 0$），可得：
$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{\frac{2n}{5}}{\frac{n}{5}}}=\sqrt{2}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{80\sqrt{2}}$米；$(2)$$\boldsymbol{\sqrt{2}}$倍。

1. 计算$\sqrt{3}×2\sqrt{\frac{1}{2}}$的结果为(B).
A.$2\sqrt{6}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{12}$
D.$3\sqrt{2}$

答案： B

2. 对于式子$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a}{b}}$,实数$a,b$的取值范围是(B).
A.$a\geq0,b\geq0$
B.$a\geq0,b＞0$
C.$a\leq0,b\leq0$
D.$a\leq0,b＜0$

答案： B

3. 下列计算错误的是(D).

A.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}= 2$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{2}= \frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}÷\sqrt{\frac{3}{2}}= \sqrt{2}$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}}÷\sqrt{\frac{3}{2}}= 1$

答案： D

4. 下列计算正确的是(B).

A.$\sqrt{20}= 2\sqrt{10}$
B.$\sqrt{3×5}= \sqrt{15}$
C.$2\sqrt{2}×\sqrt{3}= \sqrt{6}$
D.$\sqrt{(-3)^2}= -3$

答案： B

5. 化简$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$的结果是(A).
A.$3 + 2\sqrt{2}$
B.$3 - \sqrt{2}$
C.$17 + 12\sqrt{2}$
D.$17 - 12\sqrt{2}$

答案： A

6. 若$a = \sqrt{7},b = \sqrt{2}$,则$\sqrt{14}ab= $14.

答案： 14

7. 已知一个长方形的面积为18,其中一边的长为$2\sqrt{3}$,则与该边相邻的一边的长为$3\sqrt3$.

答案： $3\sqrt3$　　

8. 计算下列题.
(1)$\sqrt{\frac{2}{3}}×\sqrt{12}$
(2)$3\sqrt{2}×2\sqrt{5}$
(3)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
(4)$\sqrt{90}÷\sqrt{3\frac{3}{5}}$
(5)$\frac{\sqrt{12}×\sqrt{6}}{\sqrt{24}}$
(6)$\sqrt{18}÷\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{\frac{4}{3}}$

答案： 1. （1）
解：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{\frac{2}{3}}×\sqrt{12}=\sqrt{\frac{2}{3}×12}$。
先计算$\frac{2}{3}×12 = 8$，所以$\sqrt{\frac{2}{3}×12}=\sqrt{8}$。
再将$\sqrt{8}$化简，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
2. （2）
解：
根据二次根式乘法法则$(a\sqrt{m})\cdot(b\sqrt{n})=(a\cdot b)\sqrt{m\cdot n}(a,b\in R,m\geq0,n\geq0)$，则$3\sqrt{2}×2\sqrt{5}=(3×2)\sqrt{2×5}$。
计算$3×2 = 6$，$2×5 = 10$，所以$3\sqrt{2}×2\sqrt{5}=6\sqrt{10}$。
3. （3）
解：
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，则$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$。
分母有理化，$\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{7}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
4. （4）
解：
先将$3\frac{3}{5}$化为假分数$\frac{18}{5}$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，则$\sqrt{90}÷\sqrt{3\frac{3}{5}}=\sqrt{90÷\frac{18}{5}}$。
计算$90÷\frac{18}{5}=90×\frac{5}{18}=25$，所以$\sqrt{90÷\frac{18}{5}}=\sqrt{25}=5$。
5. （5）
解：
根据二次根式乘除法法则$\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a\cdot b}{c}}(a\geq0,b\geq0,c ＞ 0)$，则$\frac{\sqrt{12}×\sqrt{6}}{\sqrt{24}}=\sqrt{\frac{12×6}{24}}$。
计算$\frac{12×6}{24}=3$，所以$\frac{\sqrt{12}×\sqrt{6}}{\sqrt{24}}=\sqrt{3}$。
6. （6）
解：
根据二次根式乘除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=\sqrt{a÷ b\cdot c}(a\geq0,b ＞ 0,c\geq0)$，则$\sqrt{18}÷\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{\frac{4}{3}}=\sqrt{18÷\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}$。
先计算$18÷\frac{3}{4}=18×\frac{4}{3}=24$，再计算$24×\frac{4}{3}=32$，所以$\sqrt{18÷\frac{3}{4}×\frac{4}{3}}=\sqrt{32}$。
化简$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$。
综上，答案依次为：（1）$2\sqrt{2}$；（2）$6\sqrt{10}$；（3）$\frac{\sqrt{21}}{7}$；（4）$5$；（5）$\sqrt{3}$；（6）$4\sqrt{2}$。