《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 春日风光好,植绿正当时.为推进生态建设,工作人员测量了5棵芒果树树苗和5棵细叶榕树苗的生长情况,数据(单位：cm)如下：

根据以上信息解答下列问题：
(1)芒果树高度的平均数为360cm,细叶榕高度的平均数为350cm.
(2)计算两种树苗高度的方差,并据此说明哪一种树苗生长更稳定.
芒果树方差为$[(350-360)^{2}+(355-360)^{2}+(360-360)^{2}+(365-360)^{2}+(370-360)^{2}]÷5=50$,细叶榕方差为$[(340-350)^{2}+(350-350)^{2}+(350-350)^{2}+(350-350)^{2}+(360-350)^{2}]÷5=40$.$\because 50＞40$,$\therefore$细叶榕树苗高度的方差较小,生长更稳定.

答案： 7.解:
(1)芒果树高度的平均数为$\frac{1}{5}(350+355+360+365+370)=360$(cm),
细叶榕高度的平均数为$\frac{1}{5}(340+350+350+350+360)=350$(cm).
故答案为360,350.
(2)根据方差计算公式可知:
芒果树方差为$[(350-360)^{2}+(355-360)^{2}+(360-360)^{2}+(365-360)^{2}+(370-360)^{2}]÷5=50$,
细叶榕方差为$[(340-350)^{2}+(350-350)^{2}+(350-350)^{2}+(350-350)^{2}+(360-350)^{2}]÷5=40$.
$\because 50＞40$,
$\therefore$细叶榕树苗高度的方差较小,生长更稳定.

8. 甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩(单位：分)如下：
甲：98,100,100,90,96,91,89,99,100,100,93；
乙：98,99,96,94,95,92,92,98,96,99,97.
(1)他们的平均成绩分别是多少?
(2)甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少?
(3)这两位同学的成绩各有什么特点?
(4)现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛,历届比赛成绩表明,平时成绩达到98分以上才可能进入决赛.你认为应选谁参加这项竞赛? 为什么?

答案： 8.解:
(1)$\bar{x}_{甲}=\frac{1}{11}(98+100+100+90+96+91+89+99+100+100+93)=96$(分),
$\bar{x}_{乙}=\frac{1}{11}(98+99+96+94+95+92+92+98+96+99+97)=96$(分).
(2)$s_{甲}^{2}=\frac{1}{11}[(98-96)^{2}+(100-96)^{2}+(100-96)^{2}+(90-96)^{2}+(96-96)^{2}+(91-96)^{2}+(89-96)^{2}+(99-96)^{2}+(100-96)^{2}+(100-96)^{2}+(93-96)^{2}]$
$=\frac{1}{11}(4+16+16+36+0+25+49+9+16+16+9)=\frac{196}{11}$,
则甲的11次单元测验成绩的标准差为$\sqrt{\frac{196}{11}}=\frac{14\sqrt{11}}{11}$.
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{11}[(98-96)^{2}+(99-96)^{2}+(96-96)^{2}+(94-96)^{2}+(95-96)^{2}+(92-96)^{2}+(92-96)^{2}+(98-96)^{2}+(96-96)^{2}+(99-96)^{2}+(97-96)^{2}]$
$=\frac{1}{11}(4+9+0+4+1+16+16+4+0+9+1)=\frac{64}{11}$,
则乙的11次单元测验成绩的标准差为$\sqrt{\frac{64}{11}}=\frac{8\sqrt{11}}{11}$.
(3)由以上所求得出:两人平均成绩相同,甲的标准差大于乙的标准差,故甲的成绩不稳定.
(4)历届比赛成绩表明,平时成绩达到98分以上才可能进入决赛,甲的成绩有6次超过98分,乙的成绩有4次超过98分,所以应选甲参加这项竞赛.