《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 解决下列与平面直角坐标系有关的问题。
(1) 已知点 $ P(2a - 2,a + 5) $。
① 若点 $ Q $ 的坐标为 $ (4,5) $,直线 $ PQ // y $ 轴,则点 $ P $ 的坐标为 ______ ；
② 若点 $ P $ 在第二象限,且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等,求 $ a^{2\,026}+\sqrt[3]{a} $ 的值。
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中,四边形 $ OABC $ 各顶点的坐标分别是 $ O(0,0) $,$ A(-4,10) $,$ B(-12,8) $,$ C(-14,0) $,求四边形 $ OABC $ 的面积。

<答案>解:
(1)①
∵点Q的坐标为(4,5),直线PQ//y轴,
∴2a-2=4,
∴a=3,
∴a+5=8,
∴点P的坐标为(4,8).故答案为(4,8).
②
∵点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,
∴2a-2=-(a+5),
∴2a-2+a+5=0,
∴a=-1,
∴$a^{2026}+\sqrt[3]{a}=(-1)^{2026}+\sqrt[3]{-1}=1-1=0.(2)$如图,过点A作AE⊥x轴于点E,作BD⊥x轴于点D,
∴$S_{四边形OABC}=S_{\triangle BCD}+S_{梯形ABDE}+S_{\triangle OAE}=\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8+\frac{1}{2}×4×10=8+72+20=100.$

请严格按照以下步骤完成：
1. 将原题完整抄下来，严格保持所有内容都与原题一致。
2. 将答案精准填入题目的答题空里(如( )、____等，注意阅读材料或文章中的____不属于答题空，严禁填写)，并用包裹，如括号里填A表示为(A)，下划线上填××表示为××。
3. 选择题只填ABCD，不要填选项的具体内容，ABCD要填到题目本身自带的括号里。
4. 解答题需要将答案整体放到题目下面，用包裹。
5. 对于含有阅读材料文本的题目，答案只允许填在文章下面小题(或者带序号)的空里，禁止填在阅读材料里的____内。
6. 仅返回填入了答案后的完整题目，不要有其他任何多余的字，也不要重复题目。7. 解决下列与平面直角坐标系有关的问题。
(1) 已知点 $ P(2a - 2,a + 5) $。
① 若点 $ Q $ 的坐标为 $ (4,5) $,直线 $ PQ // y $ 轴,则点 $ P $ 的坐标为 ______ ；
② 若点 $ P $ 在第二象限,且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等,求 $ a^{2\,026}+\sqrt[3]{a} $ 的值。
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中,四边形 $ OABC $ 各顶点的坐标分别是 $ O(0,0) $,$ A(-4,10) $,$ B(-12,8) $,$ C(-14,0) $,求四边形 $ OABC $ 的面积。

(1)①(4,8)
②0
(2)100

答案： 解:
(1)①
∵点Q的坐标为(4,5),直线PQ//y轴,
∴2a-2=4,
∴a=3,
∴a+5=8,
∴点P的坐标为(4,8).故答案为(4,8).
②
∵点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,
∴2a-2=-(a+5),
∴2a-2+a+5=0,
∴a=-1,
∴$a^{2026}+\sqrt[3]{a}=(-1)^{2026}+\sqrt[3]{-1}=1-1=0.(2)$如图,过点A作AE⊥x轴于点E,作BD⊥x轴于点D,
∴$S_{四边形OABC}=S_{\triangle BCD}+S_{梯形ABDE}+S_{\triangle OAE}=\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8+\frac{1}{2}×4×10=8+72+20=100.$

1. 在平面直角坐标系中,下列点位于 $ y $ 轴上的是(D)。
A.$ (1,-2) $
B.$ (3,0) $
C.$ (-1,3) $
D.$ (0,-4) $

答案： D

2. 已知点 $ A(2,-5) $,线段 $ AB $ 平行于 $ x $ 轴,则点 $ B $ 的坐标可能是(C)。
A.$ (-2,5) $
B.$ (-5,5) $
C.$ (5,-5) $
D.$ (2,6) $

答案： C

3. 已知点 $ A $ 的坐标为 $ (2,3) $,线段 $ AB // y $ 轴,且 $ AB = 5 $,则点 $ B $ 的坐标为(B)。
A.$ (2,8) $
B.$ (2,8) $ 或 $ (2,-2) $
C.$ (7,3) $
D.$ (7,3) $ 或 $ (-3,3) $

答案： B

4. 如果点 $ A(m - 8,m - 2) $ 在 $ x $ 轴上,那么点 $ B(m + 1,m - 6) $ 所在的象限是(D)。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： D

5. 若点 $ A(a - 3,a + 2) $ 在横轴上,则 $ a = $-2。

答案： -2

6. 在平面直角坐标平面中,点 $ A(-m,5) $ 和点 $ B(-m,-3) $ 之间的距离为 8。

答案： 8

7. 在平面直角坐标系中,若点 $ P $ 的坐标是 $ (x,y) $,且 $ x ＞ y $,则点 $ P $ 不可能在第 二 象限。

答案： 二

8. 已知点 $ P(2m - 5,m - 1) $。
(1) 当点 $ P $ 在 $ x $ 轴上时,求 $ m $ 的值。
(2) 当点 $ P $ 在第二象限时,求 $ m $ 的取值范围。
(3) 当点 $ P $ 在第二、四象限的角平分线上时,求 $ m $ 的值。

答案： 解:
(1)当点P在x轴上时,m-1=0,解得m=1.
(2)当点P在第二象限时,2m-5＜0,m-1＞0,解得1＜m＜2.5.
(3)当点P在第二、四象限的角平分线上时,2m-5+m-1=0,解得m=2.